Exercício - Houghton 5.1 (5
ed.)
Um avião com peso de 80 kN tem uma asa elíptica de 14 m de envergadura. Para uma velocidade de 70 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em voo nivelado a 10000 m de altitude encontre (a) o arrasto induzido; (b) a circulação na seção central da asa.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para uma asa elíptica de envergadura 14\\ \mathrm{m} carregando um avião de peso 80\\ \mathrm{kN}, voando nivelado a 10000\\ \mathrm{m} com velocidade 70\\ \mathrm{m/s}:
  1. (a) Calcular o arrasto induzido (ou força de arrasto induzida) nessa condição.
  2. (b) Calcular a circulação na seção central (seção mediana) da asa.
Informações dadas (coloquei cada quantidade em notação explícita):
\text{Peso (força de sustentação necessária): } L = 80\\ \mathrm{kN} = 80{,}000\\ \mathrm{N}ççãá
\text{Envergadura: } b = 14\\ \mathrm{m}
\text{Velocidade: } V = 70\\ \mathrm{m/s}
\text{Altitude: } 10{,}000\\ \mathrm{m}
Observação usada (valor da atmosfera padrão): a densidade do ar a 10000\\ \mathrm{m} será tomada como
\rho = 0{,}4135\\ \mathrm{kg/m^3}.
Também é dado que a asa é elíptica — isso implica que a distribuição de sustentação (ou de circulação ao longo da envergadura) é elíptica e que o fator de eficiência induzida e vale 1 (caso ideal). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicação didática e passo a passo.
  1. Relação entre circulação e sustentação (Kutta–Joukowski, em linguagem simples):
  • A circulação \Gamma(y) numa posição y ao longo da envergadura produz uma força de sustentação por unidade de envergadura dada por
\text{sustentação por unidade de envergadura} = \rho V \Gamma(y).çã
  • Logo, a força de sustentação total L é a integral ao longo da envergadura:
L = \rho V \int_{-b/2}^{b/2} \Gamma(y)\,dy.
Explicando: \rho é a densidade do ar, V a velocidade de avanço, \Gamma(y) tem dimensão de área por tempo (m ^2/s) e \rho V \Gamma tem dimensão de força por metro; ao integrar por y obtemos uma força (N).
  1. Distribuição elíptica de circulação (caso de asa elíptica):
  • Para uma asa com distribuição elíptica de sustentação a circulação tem a forma
\Gamma(y)=\Gamma_0\sqrt{1-\left(\dfrac{2y}{b}\right)^2},
onde \Gamma_0 é o valor máximo (no centro, y=0). Essa forma garante a sustentação total correta e minimiza o arrasto induzido.
  1. Fórmula do arrasto induzido para asa finita com eficiência e:
  • A forma prática que usaremos é a conhecida expressão que relaciona L, \rho, V, b e e:
D_i = \dfrac{2 L^2}{\pi e \rho V^2 b^2}.
Breve derivação esquemática (sem pular os pontos importantes): começa-se com
C_{D_i}=\dfrac{C_L^2}{\pi AR\, e},
onde AR=b^2/S é a razão de aspecto; multiplicando por qS (com q=\tfrac{1}{2}\rho V^2) obtém-se, após simplificação, a forma mostrada acima. Para asa elíptica e=1.
Observação: a escrita dessa fórmula evita precisar da área da asa S explicitamente — muito útil porque o enunciado não fornece S.
  1. Fórmula para \Gamma_0 (integração da forma elíptica):
  • Substituindo a forma elíptica na integral da sustentação:
L=\rho V\int_{-b/2}^{b/2}\Gamma_0\sqrt{1-\left(\dfrac{2y}{b}\right)^2}\,dy.
Faço a mudança de variável x=\dfrac{2y}{b} (então dy=\dfrac{b}{2}dx e os limites vão de -1 a 1). A integral \int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx é uma integral clássica cujo valor é \dfrac{\pi}{2}. Assim chega-se a
L=\rho V \Gamma_0 \frac{b}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \rho V \Gamma_0 \frac{\pi b}{4}.
Isolando \Gamma_0 obtemos a fórmula útil:
\Gamma_0 = \dfrac{4L}{\pi \rho V b}.
Esta fórmula permite calcular a circulação máxima no centro diretamente a partir de L,\rho,V,b.
No próximo passo aplico essas fórmulas numericamente, mostrando contas.

Passo 3

Valor numérico da densidade (ISA) usado e verificação das unidades.
Como indicado antes, tomo a densidade do ar a 10000\\ \mathrm{m} como
\rho = 0{,}4135\\ \mathrm{kg/m^3},
valor da atmosfera padrão (pode variar um pouco na prática, mas esse é o valor tabelado usado em muitos exercícios).
Dados reescritos em forma conveniente:
L = 80{,}000\\ \mathrm{N},\qquad V = 70\\ \mathrm{m/s},\qquad b = 14\\ \mathrm{m},\qquad e=1.

Passo 4

Cálculo do arrasto induzido \,D_i.
Usamos a fórmula
D_i = \dfrac{2 L^2}{\pi e \rho V^2 b^2},
com e=1. Substituindo os números:
Primeiro calculemos alguns termos intermediários em formato claro:
L^2 = (80{,}000)^2 = 6{,}400{,}000{,}000\\ \mathrm{N^2}.
2L^2 = 2 \times 6{,}400{,}000{,}000 = 12{,}800{,}000{,}000\\ \mathrm{N^2}.
V^2 = 70^2 = 4{,}900\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
b^2 = 14^2 = 196\\ \mathrm{m^2}.
Agora o denominador:
\pi \rho V^2 b^2 = \pi \times 0{,}4135 \times 4{,}900 \times 196.
Calculo passo a passo:
4{,}900\times 196 = 960{,}400.
960{,}400 \times 0{,}4135 \approx 397{,}125{,}4.
\pi \times 397{,}125{,}4 \approx 1{,}247{,}609{,}2.
Portanto
D_i \approx \dfrac{12{,}800{,}000{,}000}{1{,}247{,}609{,}2}\\ \mathrm{N} \approx 10{,}262\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos, podemos apresentar o resultado como
D_i \approx 10{,}3\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Cálculo da circulação na seção central \Gamma_0.
Usamos a fórmula derivada:
\Gamma_0 = \dfrac{4L}{\pi \rho V b}.
Substituindo os valores:
4L = 4\times 80{,}000 = 320{,}000\\ \mathrm{N}.
\pi \rho V b = \pi \times 0{,}4135 \times 70 \times 14.
Calcule passo a passo:
70\times 14 = 980.
980 \times 0{,}4135 = 405{,}23.
\pi \times 405{,}23 \approx 1{,}273{,}07.
Logo
\Gamma_0 \approx \dfrac{320{,}000}{1{,}273{,}07}\\ \mathrm{m^2/s} \approx 251{,}4\\ \mathrm{m^2/s}.
Verificação rápida de unidades: \Gamma tem unidades de velocidade vezes comprimento, ou seja \mathrm{m^2/s}, coerente com o cálculo.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo:
  • O arrasto induzido calculado ( \approx 10{,}3\\ \mathrm{kN}) é significativo comparado ao peso de 80\\ \mathrm{kN}; em velocidades relativamente baixas e grandes altitudes o arrasto induzido costuma ser uma parcela importante da resistência total.
  • A circulação central \Gamma_0 dá uma ideia da intensidade do vórtice ligado à asa no bordo de ataque/raiz; valores da ordem de 10^2\\ \mathrm{m^2/s} são tipicamente encontrados em aeronaves desse porte em regime de cruzeiro mais lento.
Você está mandando bem em encarar isso! Essas fórmulas e a derivação da circulação para distribuição elíptica são ferramentas poderosas para provas — decora a integração rápida que leva a \Gamma_0 = \dfrac{4L}{\pi\rho V b} e a forma do arrasto induzido; elas resolvem muitos exercícios sem precisar da área da asa.

Resposta

(a) D_i \approx 10{,}3\\ \mathrm{kN}
(b) \Gamma_{0} \approx 251{,}4\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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