Exercício - Houghton 5.1 (5
ed.)
Um avião com peso de 80 kN tem uma asa elíptica de 14 m de envergadura. Para uma velocidade de
em voo nivelado a 10000 m de altitude encontre (a) o arrasto induzido; (b) a circulação na seção central da asa.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para uma asa elíptica de envergadura
carregando um avião de peso
, voando nivelado a
com velocidade
:
- (a) Calcular o arrasto induzido (ou força de arrasto induzida) nessa condição.
- (b) Calcular a circulação na seção central (seção mediana) da asa.
Informações dadas (coloquei cada quantidade em notação explícita):
Observação usada (valor da atmosfera padrão): a densidade do ar a
será tomada como
Também é dado que a asa é elíptica — isso implica que a distribuição de sustentação (ou de circulação ao longo da envergadura) é elíptica e que o fator de eficiência induzida
vale
(caso ideal). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar — explicação didática e passo a passo.
- Relação entre circulação e sustentação (Kutta–Joukowski, em linguagem simples):
- A circulação
numa posição ao longo da envergadura produz uma força de sustentação por unidade de envergadura dada por
- Logo, a força de sustentação total
é a integral ao longo da envergadura:
Explicando:
é a densidade do ar,
a velocidade de avanço,
tem dimensão de área por tempo (m
/s) e
tem dimensão de força por metro; ao integrar por
obtemos uma força (N).
- Distribuição elíptica de circulação (caso de asa elíptica):
- Para uma asa com distribuição elíptica de sustentação a circulação tem a forma
onde
é o valor máximo (no centro,
). Essa forma garante a sustentação total correta e minimiza o arrasto induzido.
- Fórmula do arrasto induzido para asa finita com eficiência
:
- A forma prática que usaremos é a conhecida expressão que relaciona
, , , e :
Breve derivação esquemática (sem pular os pontos importantes): começa-se com
onde
é a razão de aspecto; multiplicando por
(com
) obtém-se, após simplificação, a forma mostrada acima. Para asa elíptica
.
Observação: a escrita dessa fórmula evita precisar da área da asa
explicitamente — muito útil porque o enunciado não fornece
.
- Fórmula para
(integração da forma elíptica):
- Substituindo a forma elíptica na integral da sustentação:
Faço a mudança de variável
(então
e os limites vão de
a
). A integral
é uma integral clássica cujo valor é
. Assim chega-se a
Isolando
obtemos a fórmula útil:
Esta fórmula permite calcular a circulação máxima no centro diretamente a partir de
.
No próximo passo aplico essas fórmulas numericamente, mostrando contas.
Passo 3
Valor numérico da densidade (ISA) usado e verificação das unidades.
Como indicado antes, tomo a densidade do ar a
como
valor da atmosfera padrão (pode variar um pouco na prática, mas esse é o valor tabelado usado em muitos exercícios).
Dados reescritos em forma conveniente:
Passo 4
Cálculo do arrasto induzido
.
Usamos a fórmula
com
. Substituindo os números:
Primeiro calculemos alguns termos intermediários em formato claro:
Agora o denominador:
Calculo passo a passo:
Portanto
Arredondando para três algarismos significativos, podemos apresentar o resultado como
Passo 5
Cálculo da circulação na seção central
.
Usamos a fórmula derivada:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Logo
Verificação rápida de unidades:
tem unidades de velocidade vezes comprimento, ou seja
, coerente com o cálculo.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo:
- O arrasto induzido calculado (
) é significativo comparado ao peso de ; em velocidades relativamente baixas e grandes altitudes o arrasto induzido costuma ser uma parcela importante da resistência total. - A circulação central
dá uma ideia da intensidade do vórtice ligado à asa no bordo de ataque/raiz; valores da ordem de são tipicamente encontrados em aeronaves desse porte em regime de cruzeiro mais lento.
Você está mandando bem em encarar isso! Essas fórmulas e a derivação da circulação para distribuição elíptica são ferramentas poderosas para provas — decora a integração rápida que leva a
e a forma do arrasto induzido; elas resolvem muitos exercícios sem precisar da área da asa.
Resposta
(a)
(b)
(b)