Exercício 4. (Hounie capítulo 1 ex. 1) Determine quais das funções abaixo são funções teste (elementos de Cc^infty(R) ):
f(x)=ce^1x(x-1), 0<x<1 0, x <= 0 ou x >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
f(x)= expl(tfrac1x(x-1)r),&0<x<1, 0,&x<=0 ou x>=1
é um elemento de Cc^infty(R).
Conteúdo: definição de função teste, i.e., deve ser C^infty em R e ter suporte compacto.

Passo 2

Determinar o suporte de f.
Por definição,
supp,f=xinR:f(x)neq0 =(0,1)=[0,1]
Como [0,1] é compacto em R, o requisito de suporte compacto está satisfeito.

Passo 3

Verificar que f é C^infty em Rsetminus0,1.
  • Para 0<x<1, f(x)=expl(1/[x(x-1)]r) é composição de funções lisas sem pontos problemáticos, logo é C^infty em (0,1).
  • Para x<0 ou x>1, f(x)=0 é função constante, portanto C^infty nessas regiões.

Passo 4

Provar a suavidade de f em x=0 e x=1.
Em vizinhanças de 0^+ e 1^-, a forma
f(x)=expl(-tfrac1x(1-x)r)
tende a zero mais rápido que qualquer potência de x ou de (1-x). Assim, para todo k>=0, a k-ésima derivada f^(k)(x) pode ser escrita como um polinômio em 1/x e 1/(1-x) vezes exp(-1/[x(1-x)]), que ainda tende a zero quando xto0^+ ou xto1^-. Logo cada derivada se prolonga continuamente definindo f^(k)(0)=f^(k)(1)=0. Portanto f é C^infty em todo R.

Resposta

A função f pertence a Cc^infty(R).

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