Exercício 4. (Hounie capítulo 1 ex. 1) Determine quais das funções abaixo são funções teste (elementos de ): .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
f(x)= expl(tfrac1x(x-1)r),&0<x<1, 0,&x<=0 ou x>=1
é um elemento de Cc^infty(R).
Conteúdo: definição de função teste, i.e., deve ser C^infty em R e ter suporte compacto.
Passo 2
Determinar o suporte de f.
Por definição,
supp,f=xinR:f(x)neq0 =(0,1)=[0,1]
Como [0,1] é compacto em R, o requisito de suporte compacto está satisfeito.
Passo 3
Verificar que f é C^infty em Rsetminus0,1.
Para 0<x<1, f(x)=expl(1/[x(x-1)]r) é composição de funções lisas sem pontos problemáticos, logo é C^infty em (0,1).
Para x<0 ou x>1, f(x)=0 é função constante, portanto C^infty nessas regiões.
Passo 4
Provar a suavidade de f em x=0 e x=1.
Em vizinhanças de 0^+ e 1^-, a forma
f(x)=expl(-tfrac1x(1-x)r)
tende a zero mais rápido que qualquer potência de x ou de (1-x). Assim, para todo k>=0, a k-ésima derivada f^(k)(x) pode ser escrita como um polinômio em 1/x e 1/(1-x) vezes exp(-1/[x(1-x)]), que ainda tende a zero quando xto0^+ ou xto1^-. Logo cada derivada se prolonga continuamente definindo f^(k)(0)=f^(k)(1)=0. Portanto f é C^infty em todo R.