Exercício 2. (Wong ex. 1.5 e 7.2) Seja x in R^n. Definamos |x|=raizx1^2+ldots+xn^2. Prove que
|x|^2 N <= n^N sum|gamma|=N|x^gamma|^2, para todo N in N0.

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor x=(x1,dots,xn)inR^n com norma usual
|x|=raizx1^2+cdots+xn^2,
e pede para mostrar que, para todo NinN0,
|x|^2N<= n^Nsumlvertgammarvert=Nl|x^gammar|^2,
onde gamma=(gamma1,dots,gamman) é multi-índice com lvertgammarvert=gamma1+cdots+gamman=N e x^gamma=x1^gamma1cdots xn^gamman. Vamos usar o Teorema multinomial para expandir |x|^2N=(x1^2+cdots+xn^2)^N.

Passo 2

Pelo Teorema multinomial temos
l(x1^2+cdots+xn^2r)^N =sumlvertgammarvert=NN!gamma1!cdotsgamman!,x1^2gamma1cdots xn^2gamman =sumlvertgammarvert=NN!gamma!,x^2gamma
Ou seja,
|x|^2N =sumlvertgammarvert=NN!gamma!,x^2gamma

Passo 3

Também pelo multinomial, avaliando em x1=cdots=xn=1, obtemos
(1+cdots+1)^N=n^N =sumlvertgammarvert=NN!gamma!
Como todos os termos N!gamma! são não-negativos, cada coeficiente satisfaz
N!gamma!<=sumlvertgammarvert=NN!gamma!=n^N
Logo, termo a termo,
N!gamma!,x^2gamma <= n^N,x^2gamma,
e somando sobre todos os multi-índices com lvertgammarvert=N vem
|x|^2N =sumlvertgammarvert=NN!gamma!,x^2gamma <=sumlvertgammarvert=Nn^N,x^2gamma =n^Nsumlvertgammarvert=Nx^2gamma

Resposta

|x|^2N<= n^Nsumlvertgammarvert=Nl|x^gammar|^2,
como era para provar.

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