Exercício 3. (Wong ex. 7.3) Seja
. Usando a fórmula de Taylor com resto integral, mostre que se
então para todo
, existe uma constante positiva
tal que
Passo 1
O enunciado pede para
fin C^infty(R^n) cujas derivadas de qualquer ordem são limitadas:
mostrar que, para todo
NinN0 , existe constante
CN>0 tal que
O conteúdo chave é a fórmula de Taylor com resto integral em dimensão um, aplicada à função ao longo do segmento de reta de
0 a
x .
Passo 2
Para cada
xinR^n , definimos a função unidimensional
Como
f é
C^infty ,
g também é
C^infty . Vamos aplicar a fórmula de Taylor com resto integral a
g ao redor de
t=0 até ordem
N .
Passo 3
A fórmula de Taylor com resto integral para
g em
t=1 é
Note que
g(1)=f(x) e o polinômio de Taylor em
t=0 gera as derivadas de
f em
0 .
Passo 4
Pelo teorema da cadeia iterado, para todo
j>=0 vale
Em particular, em
t=0 ,
Assim o polinômio de Taylor de
f em
0 de grau
N-1 aparece naturalmente.
Passo 5
O resto integral fica
Como
N!/(N-1)!=N , podemos reescrever
Passo 6
Pela hipótese, para cada
alpha com
|alpha|=N existe
Malpha=supyinR^n|partial^alphaf(y)|<infty .
Além dissol|x^alphar|<=|x|^|alpha|=|x|^N . Logo
Além disso
pois
integral0^1(1-s)^N-1ds=1/N .
Passo 7
Definindo
que é finito por hipótese, obtemos
conforme desejado.
Resposta
Para todo
NinN0 existe
tal que