Exercício 3. (Wong ex. 7.3) Seja f in C^infty(R^n). Usando a fórmula de Taylor com resto integral, mostre que se
sup x in R^n|partial^alpha f(x)|<infty, forall alpha in N0^n
então para todo N in N0, existe uma constante positiva CN>0 tal que
|f(x)-sum|alpha|<N partial^alpha f(0)alpha! x^alpha| <= CN|x|^N, forall x in R^n

Passo 1

O enunciado pede para fin C^infty(R^n) cujas derivadas de qualquer ordem são limitadas:
supxinR^nl|partial^alphaf(x)r|<infty, forallalphainN0^n,
mostrar que, para todo NinN0, existe constante CN>0 tal que
l|f(x)-sum|alpha|<Npartial^alphaf(0)alpha!x^alphar| <= CN|x|^N,forall xinR^n
O conteúdo chave é a fórmula de Taylor com resto integral em dimensão um, aplicada à função ao longo do segmento de reta de 0 a x.

Passo 2

Para cada xinR^n, definimos a função unidimensional
g(t)=f(t,x), tin[0,1]
Como f é C^infty, g também é C^infty. Vamos aplicar a fórmula de Taylor com resto integral a g ao redor de t=0 até ordem N.

Passo 3

A fórmula de Taylor com resto integral para g em t=1 é
g(1) =sumj=0^N-1g^(j)(0)j! +underbrace1(N-1)!integral0^1(1-s)^N-1,g^(N)(s),dsRN(x)
Note que g(1)=f(x) e o polinômio de Taylor em t=0 gera as derivadas de f em 0.

Passo 4

Pelo teorema da cadeia iterado, para todo j>=0 vale
g^(j)(t) =d^jdt^jf(t,x) =sum|alpha|=jj!alpha!,partial^alphaf(t,x),x^alpha
Em particular, em t=0,
g^(j)(0) =sum|alpha|=jj!alpha!,partial^alphaf(0),x^alpha
Assim o polinômio de Taylor de f em 0 de grau N-1 aparece naturalmente.

Passo 5

O resto integral fica
RN(x) =1(N-1)!integral0^1(1-s)^N-1 sum|alpha|=NN!alpha!,partial^alphaf(s,x),x^alpha ,ds
Como N!/(N-1)!=N, podemos reescrever
RN(x) = Nintegral0^1(1-s)^N-1 sum|alpha|=Npartial^alphaf(s,x)alpha!,x^alpha ,ds

Passo 6

Pela hipótese, para cada alpha com |alpha|=N existe
Malpha=supyinR^n|partial^alphaf(y)|<infty.
Além disso l|x^alphar|<=|x|^|alpha|=|x|^N. Logo
|RN(x)| <= Nintegral0^1(1-s)^N-1 sum|alpha|=NMalphaalpha!,|x|^N ,ds =sum|alpha|=NMalphaalpha!,|x|^N
pois integral0^1(1-s)^N-1ds=1/N.

Passo 7

Definindo
CN=sum|alpha|=N1alpha! supyinR^nl|partial^alphaf(y)r|,
que é finito por hipótese, obtemos
l|f(x)-sum|alpha|<Npartial^alphaf(0)alpha!x^alphar| =|RN(x)|<= CN,|x|^N,
conforme desejado.

Resposta

Para todo NinN0 existe
CN=sum|alpha|=N1alpha! supyinR^nl|partial^alphaf(y)r|>0
tal que
l|f(x)-sum|alpha|<Npartial^alphaf(0)alpha!x^alphar| <= CN,|x|^N,forall xinR^n

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