Exercício 6. (Hounie capítulo 1 ex. 3) Dizemos que uma sequência de funções
em
, em que
é um aberto, converge para
se, para todo compacto
, temos
Mostre que se
, então existem uma sequência de funções teste
em
tais que
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
com
aberto, existe uma sequência
tal que, para todo compacto
,
O plano é usar duas ideias clássicas:
- Aproximação por convolução (mollificadores) para obter funções suaves que se aproximam de
emf em cada compacto.L^1 - Multiplicar essas suaves por funções de corte (cut-off) para garantir suporte compacto dentro de
.Omega
Passo 2
Escolhemos um mollificador padrão
, com
,
e . Para
definimos
e então a convolução
Como
, para cada compacto
e
pequeno o integral acima faz sentido para todo
.
Passo 3
É uma propriedade padrão dos mollificadores que, para cada compacto
,
Além disso cada
é
na parte de
where .
Passo 4
Precisamos agora de suporte compacto em
. Para isso, definimos uma função de corte
tal que
para
e
para
.
Em seguida, para tomamos
e
Em seguida, para
Então
,
, e
sempre que .
Definimos finalmente
Definimos finalmente
de modo que
.
Passo 5
Para verificar a convergência local, seja
compacto. Como , existe
tal que, para
, todo
satisfaz . Nessas condições
em
, logo
Isso mostra que
em
para todo compacto
.
Resposta
Tomando
obtém-se
e
em
.