Exercício 6. (Hounie capítulo 1 ex. 3) Dizemos que uma sequência de funções (phij)j em Ll o c^1(Omega), em que Omega subset R^n é um aberto, converge para phi in Ll o c^1(Omega) se, para todo compacto K subset Omega, temos
lim j infty integralK|phi(x)-phij(x)| d x=0
Mostre que se f in Ll o c^1(Omega), então existem uma sequência de funções teste (phij)j em Cc^infty(Omega) tais que lim j infty phij= f em Ll o c^1(Omega).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado fin Lloc^1(Omega) com OmegasubsetR^n aberto, existe uma sequência phijsubset Cc^infty(Omega) tal que, para todo compacto KsubsetOmega,
limjtoinftyintegralKl|phij(x)-f(x)r|,dx=0
O plano é usar duas ideias clássicas:
  1. Aproximação por convolução (mollificadores) para obter funções suaves que se aproximam de f em L^1 em cada compacto.
  2. Multiplicar essas suaves por funções de corte (cut-off) para garantir suporte compacto dentro de Omega.

Passo 2

Escolhemos um mollificador padrão , com , e . Para definimos
e então a convolução
Como , para cada compacto e pequeno o integral acima faz sentido para todo .

Passo 3

É uma propriedade padrão dos mollificadores que, para cada compacto ,
Além disso cada é na parte de where .

Passo 4

Precisamos agora de suporte compacto em . Para isso, definimos uma função de corte tal que
para e para .
Em seguida, para tomamos e
Então , , e
sempre que .
Definimos finalmente
de modo que .

Passo 5

Para verificar a convergência local, seja compacto. Como , existe tal que, para , todo satisfaz . Nessas condições em , logo
Isso mostra que em para todo compacto .

Resposta

Tomando
obtém-se e em .

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