Exercício 5. (Hounie capítulo 1 ex. 2) Quais das funções abaixo são funções localmente integráveis?
em
. (Dica: Use coordenadas polares).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é localmente integrável em
. Isso significa que, para cada bola centrada em
de raio
, devemos checar se
é finito. Fora da vizinhança de
,
é contínua e, portanto, integrável em qualquer conjunto compacto que não contenha a origem.
Passo 2
Para estudar o comportamento perto de
, usamos coordenadas polares em
. Chamando
e
, temos
onde
é o elemento de área na esfera unitária e
é a área de
.
Passo 3
No integrando surge
Logo, a integral em
separa-se em
Passo 4
Calculamos
que é finito para todo
.
Resposta
A função
é localmente integrável em
para todo
.