Exercício 5. (Hounie capítulo 1 ex. 2) Quais das funções abaixo são funções localmente integráveis?
f(x)=1|x|^n-12 em R^n. (Dica: Use coordenadas polares).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=1|x|^n-tfrac12
é localmente integrável em R^n. Isso significa que, para cada bola centrada em 0 de raio r>0, devemos checar se
integralB(0,r) f(x),dx
é finito. Fora da vizinhança de 0, f é contínua e, portanto, integrável em qualquer conjunto compacto que não contenha a origem.

Passo 2

Para estudar o comportamento perto de 0, usamos coordenadas polares em R^n. Chamando rho=|x| e thetain S^n-1, temos
dx = rho^,n-1 ,drho,dS(theta),
onde dS(theta) é o elemento de área na esfera unitária e integralS^n-1dS(theta)=omegan é a área de S^n-1.

Passo 3

No integrando surge
f(x),dx =1rho^,n-tfrac12;rho^,n-1drho,dS(theta) =rho^-,tfrac12,drho,dS(theta)
Logo, a integral em B(0,r) separa-se em
integralB(0,r)f(x),dx =integralS^n-1!!integral0^rrho^-tfrac12 ,drho,dS(theta) =omeganintegral0^rrho^-tfrac12 ,drho

Passo 4

Calculamos
integral0^rrho^-tfrac12,drho =l[rho^tfrac12tfrac12r]0^r =2,r^tfrac12,
que é finito para todo r>0.

Resposta

A função f(x)=1|x|^n-12 é localmente integrável em R^n para todo n.

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