Exercício 5. (Hounie capítulo 1 ex. 2) Quais das funções abaixo são funções localmente integráveis?
em
.
Passo 1
O enunciado pergunta se a função
definida em é localmente integrável em . O conteúdo aqui é verificar se o módulo de
é integrável em torno de cada ponto, em particular na vizinhança da singularidade
.
Passo 2
Para aplicar o teste de integrabilidade, primeiro observamos que
tem parte real
e parte imaginária
Se ambas
e
forem localmente integráveis, então
também é localmente integrável.
Passo 3
Concentramos na bola de raio
centrada em
. Em coordenadas polares
,
, temos
O elemento de área é
. Logo, por exemplo,
Como
e
, o resultado é
. De modo idêntico para
. Portanto
.
Passo 4
Fora de
,
é contínua e, em qualquer compacto que não contenha a origem,
é limitada e logo integrável. Como vimos, em torno da origem
também gera integral finita. Concluímos que
Resposta
A função
é localmente integrável em .