Exercício 5. (Hounie capítulo 1 ex. 2) Quais das funções abaixo são funções localmente integráveis?
f(x, y)=1x+i y em R^2.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
definida em é localmente integrável em . O conteúdo aqui é verificar se o módulo de é integrável em torno de cada ponto, em particular na vizinhança da singularidade .

Passo 2

Para aplicar o teste de integrabilidade, primeiro observamos que
1x+i,y =x-i,yx^2+y^2
tem parte real
u(x,y)=xx^2+y^2
e parte imaginária
v(x,y)=-yx^2+y^2
Se ambas u e v forem localmente integráveis, então f também é localmente integrável.

Passo 3

Concentramos na bola de raio varepsilon>0 centrada em (0,0). Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, temos
|u(x,y)|=|rcostheta|r^2=|costheta|r, |v(x,y)|=|rsintheta|r^2=|sintheta|r
O elemento de área é dx,dy=r,dr,dtheta. Logo, por exemplo,
integralB(0,varepsilon)|u(x,y)|,dx,dy =integral0^2pi!integral0^varepsilon|costheta|r,r,dr,dtheta =l(integral0^2pi|costheta|,dthetar),l(integral0^varepsilondrr)
Como integral0^2pi|costheta|,dtheta=4 e integral0^varepsilondr=varepsilon, o resultado é 4varepsilon<infty. De modo idêntico para v. Portanto u,vin L^1(B(0,varepsilon)).

Passo 4

Fora de , é contínua e, em qualquer compacto que não contenha a origem, é limitada e logo integrável. Como vimos, em torno da origem também gera integral finita. Concluímos que

Resposta

A função é localmente integrável em .

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