Exercício 7. (Hounie capítulo 1 ex. 6) Prove que
dada como
é a distribuição nula.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
é a distribuição nula.
Conteúdo: teoria de distribuições e funções de teste com suporte compacto. Vamos usar que toda tem valor zero fora de um intervalo compacto e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Conteúdo: teoria de distribuições e funções de teste com suporte compacto. Vamos usar que toda
Passo 2
Como
tem suporte compacto, existem
tais que
Logo
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Mas
e
pela condição de suporte, então
Passo 4
Concluímos que para toda
vale
Isto significa exatamente que
é a distribuição nula.
Resposta
A distribuição
é a distribuição nula, isto é,
para todo
.