Exercício 7. (Hounie capítulo 1 ex. 6) Prove que T: Cc^infty(R) C dada como T(phi)=integral-infty^infty phi^prime(t) d t é a distribuição nula.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
T:Cc^infty(R)toC, T(phi)=integral-infty^inftyphi'(t),dt
é a distribuição nula.
Conteúdo: teoria de distribuições e funções de teste com suporte compacto. Vamos usar que toda phiin Cc^infty(R) tem valor zero fora de um intervalo compacto e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Como phi tem suporte compacto, existem a<b tais que
phi(t)=0 para t<= a e phi(t)=0 para t>= b
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integral-infty^inftyphi'(t),dt =integrala^bphi'(t),dt

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integrala^bphi'(t),dt =phi(b)-phi(a)
Mas phi(a)=0 e phi(b)=0 pela condição de suporte, então
phi(b)-phi(a)=0-0=0

Passo 4

Concluímos que para toda phiin Cc^infty(R) vale
T(phi)=integral-infty^inftyphi'(t),dt=0
Isto significa exatamente que T é a distribuição nula.

Resposta

A distribuição T é a distribuição nula, isto é, T(phi)=0 para todo phiin Cc^infty(R).

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