Exercício 8. (Hounie capítulo 1 ex. 7) Quais das funções
abaixo definem distribuições?
.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
e pergunta se isso define uma distribuição, ou seja, se
é linear e contínua na topologia de
.
Passo 2
Para avaliar o limite usemos a expansão de Taylor de
em torno de
:
Multiplicando por
e passando ao limite, obtemos
Passo 3
Portanto
Essa é uma forma linear em
. Falta checar continuidade: na topologia de
, os semi-normas controlam todas as derivadas em torno de
, logo a aplicação
é contínua (é um funcional de avaliação de derivada em ponto).
Passo 4
Concluímos que
é uma distribuição de ordem
. Além disso, comparando com a derivada da delta de Dirac centrada em
, lembramos que
logo
ou seja
Resposta
Sim. A aplicação define uma distribuição, dado por