Exercício 8. (Hounie capítulo 1 ex. 7) Quais das funções T: Cc^infty(R) C abaixo definem distribuições?
T(phi)=lim n infty n[phi(1+1n)-phi(1)].

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon Cc^infty(R)toC, T(phi)=limntoinftynl[phil(1+tfrac1nr)-phi(1)r]
e pergunta se isso define uma distribuição, ou seja, se T é linear e contínua na topologia de Cc^infty.

Passo 2

Para avaliar o limite usemos a expansão de Taylor de phi em torno de x=1:
phil(1+tfrac1nr)=phi(1)+tfrac1n,phi'(1)+ol(tfrac1nr)
Multiplicando por n e passando ao limite, obtemos
T(phi) =limntoinftynl[phi(1)+tfrac1n,phi'(1)+ol(tfrac1nr)-phi(1)r] =phi'(1)

Passo 3

Portanto
T(phi)=phi'(1)
Essa é uma forma linear em phi. Falta checar continuidade: na topologia de Cc^infty, os semi-normas controlam todas as derivadas em torno de x=1, logo a aplicação phimapstophi'(1) é contínua (é um funcional de avaliação de derivada em ponto).

Passo 4

Concluímos que T é uma distribuição de ordem 1. Além disso, comparando com a derivada da delta de Dirac centrada em 1, lembramos que
de<a'(x-1)(phi)=-phi'(1),
logo
T(phi)=phi'(1)=-de<a'(x-1)(phi),
ou seja
T=-,de<a'l(cdot-1r)

Resposta

Sim. A aplicação define uma distribuição, dado por
T(phi)=phi'(1)=-llang<= de<a'(x-1),,phirrang<=

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