Exercício 8. (Hounie capítulo 1 ex. 7) Quais das funções T: Cc^infty(R) C abaixo definem distribuições?
T(phi)=integral-infty^infty e^t^2 phi(t) d t.

Passo 1

O enunciado define
Tcolon Cc^infty(R)toC, T(phi)=integral-infty^inftye^t^2phi(t),dt
e pede para verificar se T é uma distribuição, ou seja, um funcional linear e contínuo em Cc^infty(R).

Passo 2

Verificamos a linearidade. Para quaisquer phi,psiin Cc^infty(R) e escalares a,binC,
T(aphi+bpsi) =integral e^t^2l(aphi(t)+bpsi(t)r),dt =aintegral e^t^2phi(t),dt+bintegral e^t^2psi(t),dt =a,T(phi)+b,T(psi)

Passo 3

Mostramos que T(phi) está bem definido. Como phi tem suporte compacto KsubsetR, o integrando e^t^2phi(t) é contínuo em K e zero fora. Logo
l|T(phi)r| <=integralKl|e^t^2phi(t)r|,dt <=l(suptin K|phi(t)|r)integralKe^t^2,dt<infty

Passo 4

Para a continuidade, note que na topologia de Cc^infty(R) fixamos um compacto K contendo o suporte de phi e usamos a seminorma
pK,0(phi)=suptin K|phi(t)|
Como e^t^2 é limitada em K, existe constante CK=integralKe^t^2,dt tal que
l|T(phi)r|<= CK,pK,0(phi)
Isso mostra que T é contínuo de ordem 0.

Resposta

A função T(phi)=integral-infty^inftye^t^2phi(t),dt define de fato uma distribuição.

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