Exercício 8. (Hounie capítulo 1 ex. 7) Quais das funções
abaixo definem distribuições?
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é uma distribuição, ou seja, um funcional linear e contínuo em
.
Passo 2
Verificamos a linearidade. Para quaisquer
e escalares
,
Passo 3
Mostramos que
está bem definido. Como
tem suporte compacto
, o integrando
é contínuo em
e zero fora. Logo
Passo 4
Para a continuidade, note que na topologia de
Cc^infty(R) fixamos um compacto
K contendo o suporte de
phi e usamos a seminorma
Como
e^t^2 é limitada em
K , existe constante
CK=integralKe^t^2,dt tal que
Isso mostra que
T é contínuo de ordem
0 .
Resposta
A função
T(phi)=integral-infty^inftye^t^2phi(t),dt define de fato uma distribuição.