Exercício 8. (Hounie capítulo 1 ex. 7) Quais das funções T: Cc^infty(R) C abaixo definem distribuições?
T(phi)=integral-infty^infty|d phid t(t)| d t.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon Cc^infty(R) to C, T(phi)=integral-infty^inftyl|phi'(t)r|,dt
define uma distribuição, isto é, um funcional linear e contínuo em Cc^infty(R). Vamos usar a definição de distribuição e checar esses dois pontos.

Passo 2

Uma distribuição deve satisfazer, para todos phi,psiin Cc^infty(R) e alpha,betainC,
T(alphaphi+betapsi) = alpha,T(phi) + beta,T(psi)
— ou seja, linearidade. Como T(phi) envolve um valor absoluto, em geral
integral l|phi'+psi'r| neq integral l|phi'r| + integral l|psi'r|
Por exemplo, tome qualquer phi com phi'notequiv0 e defina psi=-phi. Então
(phi+psi)' = phi' - phi' = 0 Longrightarrow T(phi+psi)=integral |0|,dt = 0,
porém
T(phi)+T(psi) = integral |phi'|,dt + integral |(-phi)'|,dt = 2integral |phi'|,dt neq 0
Logo T(phi+psi)neq T(phi)+T(psi) e T não é linear. Sendo assim, T não satisfaz a definição de distribuição.

Resposta

T não define uma distribuição.

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