Exercício 6. Identifique as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a superfície dada por
Isso envolve reconhecer a forma canônica de quadráticas em
e dizer ao longo de qual eixo a superfície se “abre” ou é simétrica.
Passo 2
Reescrevemos em forma canônica, levando tudo para um lado:
multiplicando por
obtemos
Passo 3
Vejamos as seções transversais por planos
. Para um valor fixo de
, a equação vira
Isso é sempre uma circunferência de raio
, para qualquer
.
Passo 4
Uma família de círculos cujo raio cresce conforme
aumenta caracteriza um hiperbolóide de uma folha (não há valor de
que impeça a seção circular). Como as seções circulares são dadas fixando
, a simetria ocorre ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha de revolução, com eixo de simetria no eixo
.