Exercício 6. Identifique as superfícies definidas pelas equações, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.
z^{2}=x^{2}+y^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada por
z^{2} = x^{2} + y^{2} - 1
Isso envolve reconhecer a forma canônica de quadráticas em (x,y,z) e dizer ao longo de qual eixo a superfície se “abre” ou é simétrica.

Passo 2

Reescrevemos em forma canônica, levando tudo para um lado:
z^{2} - x^{2} - y^{2} = -1
multiplicando por -1 obtemos
x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1.

Passo 3

Vejamos as seções transversais por planos z=\text{constante}. Para um valor fixo de z, a equação vira
x^{2} + y^{2} = 1 + z^{2}.
Isso é sempre uma circunferência de raio \sqrt{1 + z^{2}}, para qualquer z\in\mathbb{R}.

Passo 4

Uma família de círculos cujo raio cresce conforme |z| aumenta caracteriza um hiperbolóide de uma folha (não há valor de z que impeça a seção circular). Como as seções circulares são dadas fixando z, a simetria ocorre ao longo do eixo z.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha de revolução, com eixo de simetria no eixo z.

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