Uma partícula se move inicialmente no ponto
ao longo do eixo
até
, e então ao longo
até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de força
.
Passo 1
Resumimos o enunciado: a partícula percorre a curva fechada
composta por
- segmento
no eixo de até , - arco semicircular
de a dado por .
O campo é. Precisamos calcular o trabalho
usando o Teorema de Green.
Passo 2
Identificamos
e
. Pela descrição do caminho—indo de
a
no eixo e voltando pelo arco superior—a orientação é horária, ou seja, negativa em relação à orientação positiva (anti-horária). Portanto,
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando de Green é
Passo 4
A região
é o semidisco de raio
acima do eixo
. Em coordenadas polares
com
,
e
. Assim
Passo 5
Calculamos as integrais separadas:
Logo
Como a orientação é horária, invertemos o sinal no Teorema de Green, obtendo