Uma partícula se move inicialmente no ponto (2,0) ao longo do eixo x até (2,0), e então ao longo y=\sqrt{4-x^{2}} até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F}(x, y)=\left\langle x, x^{3}+y\right\rangle.

Passo 1

Resumimos o enunciado: a partícula percorre a curva fechada C composta por
  1. segmento C_{1} no eixo x de (2,0) até (-2,0),
  2. arco semicircular C_{2} de (-2,0) a (2,0) dado por y=\sqrt{4-x^{2}}.
    O campo é \mathbf{F}(x,y)=\langle x,\;x^{3}+y\rangle. Precisamos calcular o trabalho
W=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
usando o Teorema de Green.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=x e Q(x,y)=x^{3}+y. Pela descrição do caminho—indo de (2,0) a (-2,0) no eixo e voltando pelo arco superior—a orientação é horária, ou seja, negativa em relação à orientação positiva (anti-horária). Portanto,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y) =3x^{2}, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x) =0.
Logo o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =3x^{2}.

Passo 4

A região R é o semidisco de raio 2 acima do eixo x. Em coordenadas polares
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
com r\in[0,2], \theta\in[0,\pi] e dA=r\,dr\,d\theta. Assim
\iint_{R}3x^{2}\,dA =3\int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{2}(r\cos\theta)^{2}\,r\,dr\,d\theta =3\int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\;\int_{0}^{2}r^{3}\,dr.

Passo 5

Calculamos as integrais separadas:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} =4, \qquad \int_{0}^{\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta =\frac{\pi}{2}.
Logo
\iint_{R}3x^{2}\,dA =3\cdot\frac{\pi}{2}\cdot4 =6\pi.
Como a orientação é horária, invertemos o sinal no Teorema de Green, obtendo
W=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-6\pi.

Resposta

-6\pi

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