Exercício 7. Identifique a superfície
e sua interseção com o plano
dado. Represente graficamente esta interseção no plano
.
e
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádrupla
e o plano
O objetivo é (
) identificar que tipo de superfície é
e (
) achar a curva de interseção
, representando‐a graficamente no plano
.
Passo 2
Para classificar
usamos o número de sinais positivos e negativos na equação geral
Há dois termos com sinal positivo e um com sinal negativo. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, com eixo principal ao longo do eixo
, pois ao fixar
temos sempre uma elipse em
, que cresce de tamanho com
.
Passo 3
Para encontrar
, substituímos
em
:
Passo 4
Simplificando a expressão acima:
Isso é a equação de duas retas que passam pela origem no sistema de coordenadas
do plano
.
Passo 5
As duas retas são
no plano
. Graficamente, em um eixo
horizontal e eixo
vertical, traçamos duas retas passando pela origem com inclinações
.
Resposta
A superfície
é um hiperbolóide de uma folha.
A interseção no plano
é dada pelas retas
A interseção
No sistema de coordenadas internas ao plano
(onde o eixo horizontal é
e o vertical é
), essa interseção aparece como duas retas cruzadas de inclinação
.