Exercício 7. Identifique a superfície S e sua interseção com o plano \pi dado. Represente graficamente esta interseção no plano \pi.
S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{16}=1 e \pi: x=2

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla
S: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{16}=1
e o plano
\pi: x=2.
O objetivo é ( 1) identificar que tipo de superfície é S e ( 2) achar a curva de interseção S\cap\pi, representando‐a graficamente no plano x=2.

Passo 2

Para classificar S usamos o número de sinais positivos e negativos na equação geral
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{16}=1.
Há dois termos com sinal positivo e um com sinal negativo. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, com eixo principal ao longo do eixo z, pois ao fixar z temos sempre uma elipse em x,y, que cresce de tamanho com \lvert z\rvert.

Passo 3

Para encontrar S\cap\pi, substituímos x=2 em S:
\frac{2^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{4}+\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{16}=1 \quad\Longrightarrow\quad 1+\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{16}=1.

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
\frac{y^{2}}{8}-\frac{z^{2}}{16}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{8}=\frac{z^{2}}{16} \quad\Longrightarrow\quad 2\,y^{2}=z^{2} \quad\Longrightarrow\quad z^{2}-2\,y^{2}=0.
Isso é a equação de duas retas que passam pela origem no sistema de coordenadas (y,z) do plano x=2.

Passo 5

As duas retas são
z=\sqrt{2}\,y \quad\text{e}\quad z=-\sqrt{2}\,y
no plano x=2. Graficamente, em um eixo y horizontal e eixo z vertical, traçamos duas retas passando pela origem com inclinações \pm\sqrt{2}.

Resposta

A superfície S é um hiperbolóide de uma folha.
A interseção S\cap\pi no plano x=2 é dada pelas retas
z=\sqrt{2}\,y \quad\text{e}\quad z=-\sqrt{2}\,y.
No sistema de coordenadas internas ao plano x=2 (onde o eixo horizontal é y e o vertical é z), essa interseção aparece como duas retas cruzadas de inclinação \pm\sqrt{2}.

Exercícios relacionados