Exercício 8. Identifique e descreva as superfícies de equações dadas. Represente graficamente.
x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y+9=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segundo grau em três variáveis
x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y+9=0
e pede para identificar o tipo de superfície e descrevê-la graficamente. Vamos usar o método de completar o quadrado em x e y para reconhecer a forma canônica.

Passo 2

Reescrevendo termo a termo e completando o quadrado:
Para x:
x^{2}-6x = (x-3)^{2} - 3^{2} = (x-3)^{2} - 9.
Para y:
y^{2}+4y = (y+2)^{2} - 2^{2} = (y+2)^{2} - 4.
O termo em z já está quadrado: z^{2}. Substituindo na equação original:
(x-3)^{2}-9 \;+\;(y+2)^{2}-4 \;+\;z^{2} \;+\;9 \;=\;0.
Somando as constantes -9 -4 +9 = -4, obtemos
(x-3)^{2} + (y+2)^{2} + z^{2} \;-\;4 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^{2} + (y+2)^{2} + z^{2} = 4.

Passo 3

A forma
(x-3)^{2} + (y+2)^{2} + (z-0)^{2} = 2^{2}
é a equação de uma esfera de centro (3,-2,0) e raio 2.
Graficamente, é todo o conjunto de pontos no espaço cuja distância até (3,-2,0) é igual a 2.

Resposta

Esfera de centro (3,-2,0) e raio 2.

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