Exercício III.6: Considere o estado:
|vrang<==12|+rang<=+raiz32|-rang<==binom1 / 2raiz3 / 2
Ao prepararmos um feixe com 100 elétrons nesse estado de spin e passarmos esse feixe pelo aparato de SG na direção z, quantos deles irão defletir para cima? E quantos irão defletir para baixo?

Passo 1

O enunciado nos dá um feixe de 100 elétrons todos preparados no mesmo estado de spin
|vrang<= = 12,|+rang<= + raiz32,|-rang<=,
onde |+rang<= e |-rang<= são os autovetores de spin em z. Vamos usar o postulado da mecânica quântica que diz que, ao medir spin em z, a probabilidade de obter +hbar/2 é l|lang<= +|vrang<=r|^2 e a de -hbar/2 é l|lang<= -|vrang<=r|^2.

Passo 2

Identificamos imediatamente os coeficientes complexos das projeções de |vrang<= em |+rang<= e |-rang<=. Temos
lang<= +|vrang<= = 12, lang<= -|vrang<= = raiz32
Portanto as probabilidades de sair para cima ( +hbar/2) e para baixo ( -hbar/2) são
Puparrow = l|lang<= +|vrang<=r|^2, Pdownarrow = l|lang<= -|vrang<=r|^2

Passo 3

Calculamos essas probabilidades:
Puparrow = l|tfrac12r|^2 = 14, Pdownarrow = l|tfracraiz32r|^2 = 34

Passo 4

Como temos 100 elétrons idênticos, o número esperado que defletem para cima é
Nuparrow = 100 times Puparrow = 100 times 14 = 25,
e o número que defletem para baixo é
Ndownarrow = 100 times Pdownarrow = 100 times 34 = 75

Resposta

Dos 100 elétrons, 25 irão defletir para cima e 75 irão defletir para baixo.

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