A funçāo de onda de uma partícula em uma caixa unidimensional é dada por:
psi(x)=A sin (n pi xL), x in[0, L]
onde n é um número inteiro positivo. Determine a constante de normalizaçāo A.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda unidimensional
psi(x)=A sin!gl(npi xLgr), xin[0,L],
com n inteiro positivo, e pede a normalização, ou seja, encontrar A tal que
integral0^L|psi(x)|^2,dx = 1

Passo 2

Escrevemos a condição de normalização substituindo psi(x):
integral0^LA^2 sin^2!gl(npi xLgr),dx = 1

Passo 3

Para calcular o integral, usamos a identidade trigonométrica
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
Logo,
integral0^L sin^2!gl(npi xLgr)dx = integral0^L 1 - cosl(tfrac2npi xLr)2,dx = 12gl[xgr]0^L - 12integral0^Lcos!l(tfrac2npi xLr)dx
Como
integral0^Lcos!l(tfrac2npi xLr)dx = L2npisin!l(tfrac2npi xLr)|0^L = 0,
fica
integral0^L sin^2!l(tfracnpi xLr)dx = L2

Passo 4

Substituindo de volta na normalização:
A^2 ,L2 = 1 Longrightarrow A^2 = 2L Longrightarrow A = raiz2L

Resposta

A = raiz2L

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