Exercício 6, III.4, pg 135. Faça um esboço da região plana, D, e calcule a:
D é a região limitada pelas curvas de equação x=y^{2}-4 e y=-x+2.

Passo 1

O enunciado pede um esboço da região D limitada pelas curvas
x = y^{2} - 4
e
y = -x + 2
e o cálculo da área de D. Vamos usar intersecção de curvas para achar os limites e então integrar em relação a y.

Passo 2

Para esboçar, note que x = y^{2}-4 é uma parábola de braço para a direita, deslocada 4 unidades à esquerda, e y=-x+2 é uma reta decrescente com coeficiente angular -1 e intercepto 2. O encontro dessas duas forma um “fuso” curvo no plano.

Passo 3

Determinamos os pontos de interseção resolvendo
\begin{cases} x = y^{2}-4,\\\ y = -x+2. \end{cases}
Substituindo x na reta:
y = -\bigl(y^{2}-4\bigr)+2 = -y^{2}+6 \;\Longrightarrow\; y^{2}+y-6=0.
As raízes são
y = \frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2} = 2\quad\text{e}\quad -3.
Então os pontos são (0,2) e (5,-3).

Passo 4

Para cada y\in[-3,2], x varia da parábola à reta:
x_{\text{esq}} = y^{2}-4, \quad x_{\text{dir}} = 2 - y.
A área de D é
\int_{y=-3}^{2}\bigl[(2 - y)-(y^{2}-4)\bigr]\,\mathrm{d}y.

Passo 5

Simplificando o integrando:
(2-y)-(y^{2}-4) = -\,y^{2}-y+6.
Integramos:
\int(-y^{2}-y+6)\,\mathrm{d}y = -\frac{y^{3}}{3}-\frac{y^{2}}{2}+6y \Bigg|_{-3}^{2}.
Em y=2:
-\frac{8}{3}-2+12 = \frac{22}{3},
em y=-3:
-\frac{(-3)^{3}}{3}-\frac{(-3)^{2}}{2}+6(-3) = 9 - \frac{9}{2} -18 = -\frac{27}{2}.
Subtraindo,
\frac{22}{3} - \Bigl(-\frac{27}{2}\Bigr) = \frac{44}{6} + \frac{81}{6} = \frac{125}{6}.

Resposta

A área de D é \tfrac{125}{6}.

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