Exercício 6, III.4, pg 135. Faça um esboço da região plana, D, e calcule a: D é a região limitada pelas curvas de equação x=y^{2}-4 e y=-x+2.
Passo 1
O enunciado pede um esboço da região D limitada pelas curvas
x = y^{2} - 4
e
y = -x + 2
e o cálculo da área de D. Vamos usar intersecção de curvas para achar os limites e então integrar em relação a y.
Passo 2
Para esboçar, note que x = y^{2}-4 é uma parábola de braço para a direita, deslocada 4 unidades à esquerda, e y=-x+2 é uma reta decrescente com coeficiente angular -1 e intercepto 2. O encontro dessas duas forma um “fuso” curvo no plano.
Passo 3
Determinamos os pontos de interseção resolvendo
\begin{cases} x = y^{2}-4,\\\ y = -x+2. \end{cases}
Substituindo x na reta:
y = -\bigl(y^{2}-4\bigr)+2 = -y^{2}+6 \;\Longrightarrow\; y^{2}+y-6=0.
As raízes são
y = \frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{2} = 2\quad\text{e}\quad -3.
Então os pontos são (0,2) e (5,-3).
Passo 4
Para cada y\in[-3,2], x varia da parábola à reta:
x_{\text{esq}} = y^{2}-4, \quad x_{\text{dir}} = 2 - y.