Exercício 6, III.4, pg 135. Faça um esboço da região plana, D, e calcule a:
área de D, D é a região limitada pelos gráficos de y=\operatorname{sen} x e y=\cos x e pelo eixo O x, 0 \leq x \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região D fechada pelas curvas y=\sin x, y=\cos x e pelo eixo x, no intervalo 0\le x\le\pi/2, e em seguida calcular a área dessa região. O conteúdo principal aqui é usar integração para somar áreas sob curvas.

Passo 2

Para entender claramente D, primeiro encontramos o ponto de interseção de \sin x e \cos x em [0,\pi/2].
\sin x = \cos x
\tan x = 1
x = \frac{\pi}{4}.
Nesse ponto o valor comum é \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}.

Passo 3

O esboço mental de D é o seguinte: no plano xy, a curva y=\sin x vai de (0,0) até (\pi/2,1) crescendo, e y=\cos x vai de (0,1) até (\pi/2,0) decrescendo. Elas se cruzam em \bigl(\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr). A região D é fechada por:
– o arco de y=\sin x de x=0 até x=\pi/4,
– o arco de y=\cos x de x=\pi/4 até x=\pi/2,
– o segmento do eixo x de x=\pi/2 até x=0.

Passo 4

A área de D é a soma da área sob \sin x de 0 a \pi/4 e da área sob \cos x de \pi/4 a \pi/2. Assim,
\text{Área}(D) =\int_{0}^{\pi/4}\sin x\,dx +\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\,dx.Á

Passo 5

Calculamos cada integral:
\int_{0}^{\pi/4}\sin x\,dx =[-\,\cos x]_{0}^{\pi/4} =-\cos\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr)+\cos(0) =-\tfrac{\sqrt2}{2}+1 =1-\tfrac{\sqrt2}{2},
\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\,dx =[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} =\sin\!\bigl(\tfrac\pi2\bigr)-\sin\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =1-\tfrac{\sqrt2}{2}.
Somando,
\text{Área}(D) =\bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) +\bigl(1-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) =2-\sqrt2.Á

Resposta

A área da região D é
2 - \sqrt{2}.

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