Exercício 5, III.4, pg 135. Esboce a região de integração e calcule a integral:
\int_{1 / 2}^{1} \int_{0}{y{2}} e^{\frac{x}{y}} d x d y\ (classe)
\int_{1 / 2}^{1} \int_{0}{y{2}} e^{\frac{x}{y}} d x d y\ (classe)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
e calcular a integral iterada
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas usando integrais iteradas.
Passo 2
A região
fica entre as retas
e
e sob a curva
.
Para esboçar:
Para esboçar:
- Trace as horizontais
e . - Desenhe a parábola
no intervalo . - Em cada
fixo, varia de (eixo ) até .
Passo 3
Calcule primeiro a integral interna em
:
Como antiderivada de
em relação a
é
temos
Passo 4
Substituindo na integral sobre
, obtemos
Passo 5
Calcule separadamente:
-
por partes, com , , resulta em
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Passo 6
Subtraindo as duas partes: