Exercício 5, III.4, pg 135. Esboce a região de integração e calcule a integral:
\int_{1 / 2}^{1} \int_{0}{y{2}} e^{\frac{x}{y}} d x d y\ (classe)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
R = \{(x,y)\mid \tfrac12\le y\le1,\;0\le x\le y^2\}
e calcular a integral iterada
\int_{y=\tfrac12}^{1}\!\int_{x=0}^{y^2} e^{\frac{x}{y}}\,dx\,dy.
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas usando integrais iteradas.

Passo 2

A região R fica entre as retas y=\tfrac12 e y=1 e sob a curva x=y^2.
Para esboçar:
  • Trace as horizontais y=\tfrac12 e y=1.
  • Desenhe a parábola x=y^2 no intervalo y\in[\tfrac12,1].
  • Em cada y fixo, x varia de 0 (eixo y) até y^2.

Passo 3

Calcule primeiro a integral interna em x:
\int_{0}^{y^2} e^{\frac{x}{y}}\,dx.
Como antiderivada de e^{x/y} em relação a x é
y\,e^{\frac{x}{y}},
temos
\int_{0}^{y^2} e^{\frac{x}{y}}\,dx = \Bigl[y\,e^{\frac{x}{y}}\Bigr]_{0}^{y^2} = y\bigl(e^{\frac{y^2}{y}}-e^0\bigr) = y\bigl(e^{y}-1\bigr).

Passo 4

Substituindo na integral sobre y, obtemos
\int_{\tfrac12}^{1}y\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy = \int_{\tfrac12}^{1}y\,e^{y}\,dy \;-\;\int_{\tfrac12}^{1}y\,dy.

Passo 5

Calcule separadamente:
  1. \displaystyle \int y\,e^{y}\,dy por partes, com u=y, dv=e^y\,dy, resulta em
\int y\,e^{y}\,dy = y\,e^{y}-\int e^{y}\,dy = e^{y}(y-1).
Logo
\int_{\tfrac12}^{1}y\,e^{y}\,dy =\Bigl[e^{y}(y-1)\Bigr]_{\tfrac12}^{1} = e^{1}(1-1)\;-\;e^{\tfrac12}\bigl(\tfrac12-1\bigr) =\tfrac12\,e^{\tfrac12}.
  1. \displaystyle \int_{\tfrac12}^{1}y\,dy =\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{\tfrac12}^{1} =\tfrac12-\tfrac{1}{8} =\tfrac{3}{8}.

Passo 6

Subtraindo as duas partes:
\int_{\tfrac12}^{1}y\bigl(e^{y}-1\bigr)\,dy = \tfrac12\,e^{\tfrac12}-\tfrac{3}{8}.

Resposta

\boxed{\int_{\tfrac12}^{1}\!\int_{0}^{y^2} e^{\tfrac{x}{y}}\,dx\,dy = \tfrac12\,e^{\tfrac12}-\tfrac{3}{8}.}

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