Este exercício ilustra a relação entre vetor rotacional e rotações. Seja B um corpo rígido girando em torno do eixo z. A rotação pode ser descrita pelo vetor w=omega k, onde omega é a velocidade angular de B, isto é, a velocidade tangencial de qualquer ponto P em B dividido pela distância d do eixo de rotação. Seja r=lang<= x, y, zrang<= o vetor posição de P.
© Mostre que rot v=2 w.

Passo 1

No enunciado, temos um corpo rígido girando em torno do eixo z com velocidade angular w=omega,k. O vetor posição de um ponto P é r=lang<= x,y,zrang<= e a velocidade de P no movimento rígido é dada por v(r)=wtimesr. O objetivo é mostrar que o rotacional (curl) de v satisfaz nablatimesv=2w.

Passo 2

Primeiro, escrevemos explicitamente o produto vetorial. Tomando w=(0,0,omega) e r=(x,y,z), temos
v=wtimesr=(0,0,omega)times(x,y,z)=(-omega y,,omega x,,0)

Passo 3

Agora usamos a definição de rotacional em coordenadas cartesianas:
(nablatimesv)x=partial vzpartial y-partial vypartial z, (nablatimesv)y=partial vxpartial z-partial vzpartial x, (nablatimesv)z=partial vypartial x-partial vxpartial y

Passo 4

Calculamos cada componente usando vx=-omega y, vy=omega x e vz=0:
  • (nablatimesv)x=0-0=0
  • (nablatimesv)y=0-0=0
  • (nablatimesv)z=partial(omega x)partial x-partial(-omega y)partial y=omega-(-omega)=2omega

Passo 5

Portanto,
nablatimesv=(0,0,2omega)=2,omegak=2w

Resposta

2w

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