Este exercício ilustra a relação entre vetor rotacional e rotações. Seja
um corpo rígido girando em torno do eixo
. A rotação pode ser descrita pelo vetor
, onde
é a velocidade angular de
, isto é, a velocidade tangencial de qualquer ponto
em
dividido pela distância
do eixo de rotação. Seja
o vetor posição de
.
© Mostre que rot
.
© Mostre que rot
Passo 1
No enunciado, temos um corpo rígido girando em torno do eixo z com velocidade angular
. O vetor posição de um ponto P é
e a velocidade de P no movimento rígido é dada por
. O objetivo é mostrar que o rotacional (curl) de
satisfaz
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos explicitamente o produto vetorial. Tomando
e
, temos
Passo 3
Agora usamos a definição de rotacional em coordenadas cartesianas:
Passo 4
Calculamos cada componente usando
,
e
:
Passo 5
Portanto,