Exercício 3. Indique a solução geral das seguintes equações:
(Sugestão: Fazendo a mudança de varivel
, obtenha a equação de Bessel com respeito a
.)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e sugere a mudança de variável
para transformar essa equação na forma
que é a equação de Bessel de ordem
. Vamos então fazer
com
.
Passo 2
Calculamos as derivadas em função de
. Como
, tem-se
Logo
Para
, derivamos novamente:
Substituindo na equação original:
e o termo
vira
. Somando tudo:
que é exatamente a equação de Bessel de ordem
.
Passo 3
A solução geral da equação de Bessel de ordem
é
onde
e
são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem
.