Exercício 3. Indique a solução geral das seguintes equações:
4 t^2 y^prime prime+4 t y^prime+(t-9) y=0 (Sugestão: Fazendo a mudança de varivel x=raizt, obtenha a equação de Bessel com respeito a x: x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-9) y=0.)

Passo 1

O enunciado dá a equação
4,t^2y''(t)+4,t,y'(t)+(t-9),y(t)=0
e sugere a mudança de variável x=raizt para transformar essa equação na forma
x^2u''(x)+x,u'(x)+(x^2-9),u(x)=0,
que é a equação de Bessel de ordem 3. Vamos então fazer y(t)=u(x) com x=raizt.

Passo 2

Calculamos as derivadas em função de x. Como x=raizt, tem-se
dxdt=12raizt=12x
Logo
y'(t)=dudt=u'(x),dxdt=u'(x)2x
Para y''(t), derivamos novamente:
y''(t) =ddtl(u'(x)2xr) =l(ddxl(tfracu'2xr)r)dxdt =l(u''(x)2x-u'(x)2x^2r)12x =u''(x)4x^2-u'(x)4x^3
Substituindo na equação original:
4t^2y''=4x^4l(u''4x^2-u'4x^3r) =x^2u''-x,u',
4t,y'=4x^2cdotu'2x=2x,u',
e o termo (t-9)y vira (x^2-9)u. Somando tudo:
(x^2u''-x,u')+(2x,u')+(x^2-9)u =x^2u''+x,u'+(x^2-9)u=0,
que é exatamente a equação de Bessel de ordem 3.

Passo 3

A solução geral da equação de Bessel de ordem 3 é
u(x)=C1J3(x)+C2Y3(x),
onde J3 e Y3 são as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem 3.

Resposta

y(t)=C1J3l(raiztr)+C2Y3l(raiztr)

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