Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Mostre que não existe nenhuma função
de classe
e
-periódica tal que a série de Fourier seja a série abaixo:
(Dica: Verifique se os coeficientes de Fourier da função
(a derivada de
) podem satisfazer a desigualdade de Bessel. Justifique).
b) Considere uma haste de cobre de 100 cm , cuja temperatura inicial seja de
e cujas as pontas sejam mantidas a zero graus. Suponha que o coeficiente de difusão (o
da equação do calor) seja
. Neste caso:
i) Ache a temperatura da haste para tempos maiores do que zero, ou seja, calcule
para
e
. (Dica: Ache a expansão de Fourier em seno da função
dada por
e use a fórmula da solução da equação do calor encontrada em sala de aula)
ii) Ache uma estimativa numérica (calculando alguns termos da solução) para os valores da temperatura no meio da haste nos tempos
e 3600 , ou seja, estime os valores de
e
.
a) Mostre que não existe nenhuma função
b) Considere uma haste de cobre de 100 cm , cuja temperatura inicial seja de
i) Ache a temperatura da haste para tempos maiores do que zero, ou seja, calcule
ii) Ache uma estimativa numérica (calculando alguns termos da solução) para os valores da temperatura no meio da haste nos tempos
Passo 1
O enunciado trata de duas coisas:
- (a) uma série de Fourier
e pede que mostremos que não existe ,
-periódica, com essa série. Vamos usar os coeficientes de Fourier de
e de
e a desigualdade de Bessel.
- (b) a solução da equação do calor
com
. Usaremos a expansão em senos de
em
e a fórmula padrão da sala.
Passo 2
(a) Suponha, por absurdo, que exista
,
-periódica, com
Então a derivada tem série de Fourier obtida formalmente por derivar termo a termo:
Os coeficientes de Fourier de
são todos iguais a
.
Passo 3
Pela desigualdade de Bessel para funções
-periódicas em
, se
então
Mas esse somatório diverge. Logo
, contradizendo
contínua
. Portanto não existe tal
.
Passo 4
(b– i) Temos
,
, condi\c{c}~oes de contorno homog^eneas e
. A solu\c{c}~ao via separa\c{c}~ao de vari’aveis `e
onde
Logo somente
'{\i}mpar contribuem. Para
:
Portanto
Passo 5
(b–ii) No meio da haste
temos
. Logo
Para estimar numericamente, tomamos os primeiros termos (
) e obtemos aproximadamente:
Resposta
(a) Não existe, pois os coeficientes de Fourier de
seriam todos iguais a
e violariam a desigualdade de Bessel.
(b–i)
(b–ii)