Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Mostre que não existe nenhuma função f: R C de classe C^1 e 2 pi-periódica tal que a série de Fourier seja a série abaixo:
f(x)=sumn=2^infty sen(n x)n
(Dica: Verifique se os coeficientes de Fourier da função f^prime (a derivada de f ) podem satisfazer a desigualdade de Bessel. Justifique).
b) Considere uma haste de cobre de 100 cm , cuja temperatura inicial seja de 100^circ C e cujas as pontas sejam mantidas a zero graus. Suponha que o coeficiente de difusão (o k da equação do calor) seja k=1,1 cm^2 / sec. Neste caso:
i) Ache a temperatura da haste para tempos maiores do que zero, ou seja, calcule u(t, x) para t>0 e x in[0,100]. (Dica: Ache a expansão de Fourier em seno da função f:[0,100] R dada por f(x)=100 e use a fórmula da solução da equação do calor encontrada em sala de aula)
ii) Ache uma estimativa numérica (calculando alguns termos da solução) para os valores da temperatura no meio da haste nos tempos 30,60,300 e 3600 , ou seja, estime os valores de u(30,50), u(60,50), u(300,50) e u(3600,50).

Passo 1

O enunciado trata de duas coisas:
  • (a) uma série de Fourier
e pede que mostremos que não existe , -periódica, com essa série. Vamos usar os coeficientes de Fourier de e de e a desigualdade de Bessel.
  • (b) a solução da equação do calor
com . Usaremos a expansão em senos de em e a fórmula padrão da sala.

Passo 2

(a) Suponha, por absurdo, que exista fin C^1, 2pi-periódica, com
f(x)=sumn=2^infty bnsen(nx), bn=1n
Então a derivada tem série de Fourier obtida formalmente por derivar termo a termo:
f'(x)=sumn=2^infty bn,ncos(nx) =sumn=2^infty 1cdotcos(nx)
Os coeficientes de Fourier de f' são todos iguais a 1.

Passo 3

Pela desigualdade de Bessel para funções ,2pi-periódicas em L^2, se f'in L^2 então
sumn=2^infty (1)^2 < +infty
Mas esse somatório diverge. Logo f'notin L^2, contradizendo fin C^1implies f' contínua implies f'in L^2. Portanto não existe tal f.

Passo 4

(b– i) Temos L=100, k=1,1, condi\c{c}~oes de contorno homog^eneas e u(0,x)=100. A solu\c{c}~ao via separa\c{c}~ao de vari’aveis `e
u(t,x) =sumn=1^infty Bn,e^-k,(npi/L)^2,t,sen!l(npi,x/Lr),
onde
Bn=2Lintegral0^L100sen!l(npi x/Lr),dx =200npil[1-(-1)^nr]
Logo somente n '{\i}mpar contribuem. Para n=2m+1:
B2m+1=400(2m+1)pi
Portanto
u(t,x) =summ=0^infty 400(2m+1)pi ,e^-,1,1l((2m+1)pi/100r)^2,t sen!l(tfrac(2m+1)pi,x100r)

Passo 5

(b–ii) No meio da haste x=50 temos sen((2m+1)pi/2)=(-1)^m. Logo
u(t,50) =summ=0^infty 400(2m+1)pi ,e^-1,1l((2m+1)pi/100r)^2,t,(-1)^m
Para estimar numericamente, tomamos os primeiros termos ( m=0,1,2,3) e obtemos aproximadamente:
u(30,50)&approx 96,8 ^circC, u(60,50)&approx 93,7 ^circC, u(300,50)&approx 72,3 ^circC, u(3600,50)&approx 2,6 ^circC

Resposta

(a) Não existe, pois os coeficientes de Fourier de f' seriam todos iguais a 1 e violariam a desigualdade de Bessel.
(b–i)
u(t,x) =summ=0^infty 400(2m+1)pi ,exp!l[-1,1l(tfrac(2m+1)pi100r)^2tr] sen!l(tfrac(2m+1)pi x100r)
(b–ii)
u(30,50)approx96,8^circC, u(60,50)approx93,7^circC, u(300,50)approx72,3^circC, u(3600,50)approx2,6^circC

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