Exercício 3. Indique a solução geral das seguintes equações:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(lambda^2 x^2-p^2) y=0 (Sugestão: Fazendo a mudança de varivel t=lambda x, obtenha uma equação de Bessel com respeito a t.)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x^2y''+x,y'+l(lambda^2x^2-p^2r)y=0
Este é justamente o tipo de equação que, após a mudança de variável t=lambda x, se transforma na equação de Bessel de ordem p. Vamos usar essa estratégia.

Passo 2

Definimos t=lambda x. Como y é função de x, escrevemos
dydx =dydt,dtdx =lambda,yt',
e
d^2ydx^2 =ddxl(lambda,yt'r) =lambda,d yt'dt,dtdx =lambda^2,yt'',
onde yt'=tfracdydt e yt''=tfracd^2ydt^2.

Passo 3

Substituindo essas derivadas na equação original:
x^2(lambda^2yt'')+x(lambda yt')+l(lambda^2x^2-p^2r)y=0
Como x=t/lambda, temos x^2lambda^2=t^2 e xlambda=t. Logo a equação vira
t^2yt''+t,yt'+l(t^2-p^2r)y=0,
que é exatamente a equação de Bessel de ordem p.

Passo 4

A solução geral da equação de Bessel de ordem p é
y(t)=C1Jp(t)+C2Yp(t),
onde Jp e Yp são, respectivamente, as funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem p.

Passo 5

Voltando à variável original x, basta substituir t=lambda x. Assim, a solução geral da equação dada é
y(x) = C1Jp(lambda x)+C2Yp(lambda x)

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1Jp(lambda x)+C2Yp(lambda x),
com Jp e Yp sendo as funções de Bessel de ordem p.

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