Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Mostre que não existe nenhuma função suave por partes e -periódica tal que a série de Fourier seja a série abaixo:
(Dica: Verifique se os coeficientes de Fourier de podem satisfazer a desigualdade de Bessel. Justifique)
b) Considere uma corda ocupando o intervalo e seja o deslocamento transversal da corda no tempo e no ponto . Suponha que
e que . Note que é uma constante. Ela corresponde ao máximo deslocamento inicial da corda, ou seja, ao valor máximo de .
i) Calcule para e , usando série de Fourier. (Dica: Calcule a expansão de Fourier seno das funções e e use a fórmula da solução da equação da onda encontrada em sala de aula).
ii) Usando a expressão da solução da equação de onda encontrada em sala de aula:
em que e é uma primitiva de , encontre para e .
Passo 1
Enunciado dividido em dois itens.
a) Mostrar que não existe , suave por partes e -periódica, cuja série de Fourier seja
Conteúdo: coeficientes de Fourier e desigualdade de Bessel.
b) Corda fixa em e , satisfazendo a equação da onda
com condições iniciais
Pede-se, em (i), solução por série de Fourier seno e, em (ii), solução por fórmula de d’Alembert.]
Passo 2
Para (a), uma função
e a desigualdade de Bessel diz
No nosso caso, pelos termos dados, temos
Logo
Mas a série ). Isso contradiz Bessel. Portanto não existe tal .
Passo 3
Para (b)-(i), usamos separação de variáveis e expansão em senos no intervalo [0,L] com condições de contorno u(t,0)=u(t,L)=0. A solução geral é