Resolva os itens a) e b) abaixo:
a) Mostre que não existe nenhuma função f: R C suave por partes e 2 pi-periódica tal que a série de Fourier seja a série abaixo:
f(x)=sumn=2^infty sen(n x)ln (n)
(Dica: Verifique se os coeficientes de Fourier de f podem satisfazer a desigualdade de Bessel. Justifique)
b) Considere uma corda ocupando o intervalo 0 <= x <= L e seja u(t, x) o deslocamento transversal da corda no tempo t >= 0 e no ponto x in[0, L]. Suponha que
u(0, x)=c 2 mL x, 0 <= x <= 12 L 2 mL(L-x), 12 L <= x <= L
e que partial upartial t(0, x)=0. Note que m>0 é uma constante. Ela corresponde ao máximo deslocamento inicial da corda, ou seja, ao valor máximo de x mapsto u(0, x).
i) Calcule u(t, x) para t>0 e x in[0, L], usando série de Fourier. (Dica: Calcule a expansão de Fourier seno das funções x mapsto u(0, x) e x mapsto partial upartial t(0, x) e use a fórmula da solução da equação da onda encontrada em sala de aula).
ii) Usando a expressão da solução da equação de onda encontrada em sala de aula:
u(t, x)=12[f(x+c t)+f(x-c t)]+12 c[G(x+c t)-G(x-c t)]
em que f(x)=u(0, x) e G é uma primitiva de g(x)=partial upartial t(0, x), encontre u(t, x) para t>0 e x in[0, L].

Passo 1

Enunciado dividido em dois itens.
a) Mostrar que não existe f:RtoC, suave por partes e 2pi-periódica, cuja série de Fourier seja
f(x)=sumn=2^inftysin(nx)ln(n)
Conteúdo: coeficientes de Fourier e desigualdade de Bessel.
b) Corda fixa em x=0 e x=L, satisfazendo a equação da onda
utt=c^2uxx,
com condições iniciais
u(0,x)= dfrac2mL,x,&0<= x<= tfracL2,[6pt] dfrac2mL(L-x),&tfracL2<= x<= L, ut(0,x)=0
Pede-se, em (i), solução por série de Fourier seno e, em (ii), solução por fórmula de d’Alembert.]

Passo 2

Para (a), uma função
e a desigualdade de Bessel diz
No nosso caso, pelos termos dados, temos
Logo
Mas a série ). Isso contradiz Bessel. Portanto não existe tal .

Passo 3

Para (b)-(i), usamos separação de variáveis e expansão em senos no intervalo [0,L] com condições de contorno u(t,0)=u(t,L)=0. A solução geral é
u(t,x) =sumn=1^inftyl[Ancos!l(tfracnpi cLtr) +Bnsin!l(tfracnpi cLtr)r], sin!l(tfracnpi xLr)
Como ut(0,x)=0, segue Bn=0. E An vem da série de Fourier seno de u(0,x):
An =2Lintegral0^Lu(0,x),sin!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 4

Calculamos
An=2Ll(I1+I2r),
com
I1=integral0^L/22mL,x,sin!l(tfracnpi xLr),dx, I2=integralL/2^L2mL(L-x),sin!l(tfracnpi xLr),dx
Usando integração por partes e mudança xmapsto L-x em I2, obtém-se
I2=-(-1)^nI1,
logo I1+I2=I1l[1-(-1)^nr].
Para n par, 1-(-1)^n=0Rightarrow An=0.
Para n=2k+1 ímpar,
I1 =L^2(2k+1)^2pi^2(-1)^k,
portanto
A2k+1 =2L,2mL,2,I1 =8m(-1)^k(2k+1)^2pi^2

Passo 5

Logo a solução por Série de Fourier é
u(t,x) =sumk=0^infty 8m(-1)^k(2k+1)^2pi^2 cos!l(tfrac(2k+1)pi cL,tr) sin!l(tfrac(2k+1)pi L,xr)

Passo 6

Para (b)-(ii), pela fórmula de d’Alembert numa extensão ímpar periódica de f(x)=u(0,x) e como g(x)=ut(0,x)=0 tem primitiva constante G, obtém-se
u(t,x) =12l[f(x+ct)+f(x-ct)r] +12cl[G(x+ct)-G(x-ct)r] =12l[f(x+ct)+f(x-ct)r]
Assim, em cada região onde xpm ctin[0,L], a solução é a média aritmética dos valores do triângulo inicial deslocados por ct.

Resposta

a) Não existe função f suave por partes e 2pi-periódica com série de Fourier
sumn=2^inftysen(nx)/ln(n).
b(i)
u(t,x) =sumk=0^infty 8m(-1)^k(2k+1)^2pi^2 cos!l(tfrac(2k+1)pi cL,tr) sin!l(tfrac(2k+1)pi L,xr)
b(ii)
u(t,x) =tfrac12l[f(x+ct)+f(x-ct)r],
onde f(x) é a forma triangular dada em [0,L], estendida ímpar e periódica de período 2L.

Exercícios relacionados