Exercício 0.1 (Inequações). Resolva, em \mathbb{R}, as inequações: \frac{x^{2}-3 x+2}{x-4} \leq 0
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
\frac{x^{2}-3x+2}{x-4} \leq 0.
Informações dadas e o que é pedido:
A expressão é uma razão de polinômios com numerador x^{2}-3x+2 e denominador x-4.
Deve-se encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a fração menor ou igual a zero.
Importante: valores de x que anulam o denominador não pertencem ao domínio e portanto não podem ser soluções, mesmo que façam o numerador zero.
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o numerador para ver as raízes e facilitar o estudo do sinal.
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).
Portanto a expressão original pode ser escrita como
\frac{(x-1)(x-2)}{x-4}.
Aqui cada fator linear (x-1), (x-2) e (x-4) muda de sinal quando x passa por 1, 2 e 4, respectivamente. Essas três abscissas são os pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal da expressão é constante.
Passo 3
Listar os pontos críticos e lembrar sobre inclusão/exclusão:
Zeros do numerador: x=1 e x=2. Nesses pontos a expressão vale 0 (desde que o denominador não seja zero), e como a inequação permite igualdade (\leq 0), esses pontos podem pertencer à solução.
Zero do denominador: x=4. Esse ponto não pertence ao domínio; a expressão é indefinida em x=4 e portanto x=4 não pode ser solução.
Dividem-se os reais em quatro intervalos: (-\infty,1), (1,2), (2,4) e (4,\infty). Vou estudar o sinal da expressão em cada intervalo.
Passo 4
Método: analisar o sinal de cada fator em cada intervalo e combinar (produto/quotiente). Para ficar didático, uso um ponto teste em cada intervalo.
x=4: denominador zero, expressão indefinida (não pode ser incluído).
(4,\infty): expressão positiva (não satisfaz).
Passo 6
Construindo a solução a partir do item anterior: incluem-se todos os intervalos e pontos em que a expressão é negativa ou zero, exclui-se onde é positiva ou indefinida. Assim a solução é a união