Exercício 0.1 (Inequações). Resolva, em \mathbb{R}, as inequações:
\frac{x^{2}-3 x+2}{x-4} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
\frac{x^{2}-3x+2}{x-4} \leq 0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão é uma razão de polinômios com numerador x^{2}-3x+2 e denominador x-4.
  • Deve-se encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a fração menor ou igual a zero.
  • Importante: valores de x que anulam o denominador não pertencem ao domínio e portanto não podem ser soluções, mesmo que façam o numerador zero.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o numerador para ver as raízes e facilitar o estudo do sinal.
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).
Portanto a expressão original pode ser escrita como
\frac{(x-1)(x-2)}{x-4}.
Aqui cada fator linear (x-1), (x-2) e (x-4) muda de sinal quando x passa por 1, 2 e 4, respectivamente. Essas três abscissas são os pontos críticos que dividem a reta em intervalos onde o sinal da expressão é constante.

Passo 3

Listar os pontos críticos e lembrar sobre inclusão/exclusão:
  • Zeros do numerador: x=1 e x=2. Nesses pontos a expressão vale 0 (desde que o denominador não seja zero), e como a inequação permite igualdade ( \leq 0), esses pontos podem pertencer à solução.
  • Zero do denominador: x=4. Esse ponto não pertence ao domínio; a expressão é indefinida em x=4 e portanto x=4 não pode ser solução.
    Dividem-se os reais em quatro intervalos: (-\infty,1), (1,2), (2,4) e (4,\infty). Vou estudar o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 4

Método: analisar o sinal de cada fator em cada intervalo e combinar (produto/quotiente). Para ficar didático, uso um ponto teste em cada intervalo.
Intervalo (-\infty,1). Tomo x=0.
(x-1)(x-2)/(x-4)\Big|_{x=0}=\frac{(0-1)(0-2)}{0-4}=\frac{(-1)(-2)}{-4}=\frac{2}{-4}=-\tfrac{1}{2}<0.
Logo a expressão é negativa em (-\infty,1).
Intervalo (1,2). Tomo x=1{,}5.
\frac{(1{,}5-1)(1{,}5-2)}{1{,}5-4}=\frac{(0{,}5)(-0{,}5)}{-2{,}5}=\frac{-0{,}25}{-2{,}5}=+0{,}1>0.
Logo a expressão é positiva em (1,2).
Intervalo (2,4). Tomo x=3.
\frac{(3-1)(3-2)}{3-4}=\frac{(2)(1)}{-1}=-2<0.
Logo a expressão é negativa em (2,4).
Intervalo (4,\infty). Tomo x=5.
\frac{(5-1)(5-2)}{5-4}=\frac{(4)(3)}{1}=12>0.
Logo a expressão é positiva em (4,\infty).

Passo 5

Resumo do sinal em cada intervalo:
  • (-\infty,1): expressão negativa (satisfeita, pois queremos \leq 0).
  • x=1: numerador zero, denominador \neq 0 \Rightarrow expressão =0 (satisfeito).
  • (1,2): expressão positiva (não satisfaz).
  • x=2: numerador zero, denominador \neq 0 \Rightarrow expressão =0 (satisfeito).
  • (2,4): expressão negativa (satisfeito).
  • x=4: denominador zero, expressão indefinida (não pode ser incluído).
  • (4,\infty): expressão positiva (não satisfaz).

Passo 6

Construindo a solução a partir do item anterior: incluem-se todos os intervalos e pontos em que a expressão é negativa ou zero, exclui-se onde é positiva ou indefinida. Assim a solução é a união
(-\infty,1]\\ \cup\\ [2,4).

Resposta

(-\infty,1]\cup[2,4)

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