Exemplo 27. Escreva em ordem crescente as raízes \sqrt{3}, \sqrt[3]{2} e \sqrt[4]{5}.

Passo 1

O enunciado pede: escrever em ordem crescente as três raízes dadas. Ou seja, precisamos ordenar do menor para o maior os números
\sqrt{3}, \sqrt[3]{2} e \sqrt[4]{5}.
Informações que temos:
  • Três números positivos escritos como raízes: \sqrt{3}, \sqrt[3]{2} e \sqrt[4]{5}.
  • Nenhuma aproximação numérica é fornecida; devemos comparar exatamente ou por raciocínio exato.
O que devemos devolver: uma lista desses três números em ordem crescente (do menor para o maior).

Passo 2

Transformar raízes em potências fracionárias para manipular mais facilmente. Regra:
\sqrt[n]{x} = x^{1/n},
onde x>0 e n é inteiro positivo. Aqui:
\sqrt{3}=3^{1/2},\qquad \sqrt[3]{2}=2^{1/3},\qquad \sqrt[4]{5}=5^{1/4}.
Explicando: x^{1/n} significa o número que, elevado a n, dá x. Por exemplo, 3^{1/2} é o número que ao quadrado dá 3.

Passo 3

Escolher uma potência inteira que transforme todas as potências fracionárias em potências inteiras. Isso facilita comparar os valores sem usar calculadora.
  • Os denominadores das frações 1/2, 1/3 e 1/4 são 2, 3 e 4.
  • O mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês) de 2,3,4 é 12.
    Explicando MMC: é o menor inteiro positivo divisível por todos os denominadores; usar o MMC permite eliminar frações nos expoentes ao elevar ao MMC.

Passo 4

Elevar cada número à potência 12. Justificativa: para números positivos, a função f(t)=t^{12} é estritamente crescente, então a ordem entre os números é preservada ao elevar todos eles à mesma potência positiva. Em símbolos: para a,b>0 e p>0, vale
a<b \iff a^{p}<b^{p}.
Calculemos:
\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{12} = \bigl(3^{1/2}\bigr)^{12} = 3^{12\cdot\frac{1}{2}} = 3^{6}.
Agora 3^{6}. Calcule passo a passo sem calculadora: 3^{2}=9, 3^{3}=27, 3^{4}=81, 3^{5}=243, 3^{6}=729. Logo
\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{12} = 729.
Em seguida:
\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)^{12} = \bigl(2^{1/3}\bigr)^{12} = 2^{12\cdot\frac{1}{3}} = 2^{4}.
E 2^{4}=16. Logo
\bigl(\sqrt[3]{2}\bigr)^{12} = 16.
Por fim:
\bigl(\sqrt[4]{5}\bigr)^{12} = \bigl(5^{1/4}\bigr)^{12} = 5^{12\cdot\frac{1}{4}} = 5^{3}.
E 5^{3}=125. Logo
\bigl(\sqrt[4]{5}\bigr)^{12} = 125.

Passo 5

Comparar os valores inteiros obtidos ao elevar à potência 12:
16 < 125 < 729.
Como a função t\mapsto t^{12} é crescente para t>0, a ordem é preservada quando voltamos aos radicais originais. Portanto:
\sqrt[3]{2} < \sqrt[4]{5} < \sqrt{3}.

Passo 6

Checagem intuitiva (opcional, só para ganhar confiança): aproximações conhecidas sem calculadora rápida:
  • \sqrt[3]{2} é pouco maior que 1{,}2 (pois 1{,}2^{3}=1{,}728 e 1{,}3^{3}=2{,}197), então cerca de 1{,}26.
  • \sqrt[4]{5}=\sqrt{\sqrt{5}}; como \sqrt{5}\approx2{,}236, então \sqrt[4]{5}\approx\sqrt{2{,}236}\approx1{,}495.
  • \sqrt{3}\approx1{,}732.
    Essas aproximações confirmam a ordem encontrada: 1{,}26<1{,}495<1{,}732.

Resposta

\sqrt[3]{2} < \sqrt[4]{5} < \sqrt{3}

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