Exemplo 27. Escreva em ordem crescente as raízes
e
.
Passo 1
O enunciado pede: escrever em ordem crescente as três raízes dadas. Ou seja, precisamos ordenar do menor para o maior os números
,
e
.
Informações que temos:
- Três números positivos escritos como raízes:
, e . - Nenhuma aproximação numérica é fornecida; devemos comparar exatamente ou por raciocínio exato.
O que devemos devolver: uma lista desses três números em ordem crescente (do menor para o maior).
Passo 2
Transformar raízes em potências fracionárias para manipular mais facilmente. Regra:
onde
e
é inteiro positivo. Aqui:
Explicando:
significa o número que, elevado a
, dá
. Por exemplo,
é o número que ao quadrado dá
.
Passo 3
Escolher uma potência inteira que transforme todas as potências fracionárias em potências inteiras. Isso facilita comparar os valores sem usar calculadora.
- Os denominadores das frações
, e são , e . - O mínimo múltiplo comum (MMC, ou LCM em inglês) de
é .
Explicando MMC: é o menor inteiro positivo divisível por todos os denominadores; usar o MMC permite eliminar frações nos expoentes ao elevar ao MMC.
Passo 4
Elevar cada número à potência
. Justificativa: para números positivos, a função
é estritamente crescente, então a ordem entre os números é preservada ao elevar todos eles à mesma potência positiva. Em símbolos: para
e
, vale
Calculemos:
Agora
. Calcule passo a passo sem calculadora:
,
,
,
,
. Logo
Em seguida:
E
. Logo
Por fim:
E
. Logo
Passo 5
Comparar os valores inteiros obtidos ao elevar à potência
:
Como a função
é crescente para
, a ordem é preservada quando voltamos aos radicais originais. Portanto:
Passo 6
Checagem intuitiva (opcional, só para ganhar confiança): aproximações conhecidas sem calculadora rápida:
-
é pouco maior que (pois e ), então cerca de . -
; como , então . -
.
Essas aproximações confirmam a ordem encontrada:.