Exercício 0.1 (Inequações). Resolva, em \mathbb{R}, as inequações:
\left(x^{2}-x\right) \cdot\left(x^{2}-x-6\right)>0

Passo 1

O enunciado pede: resolver em \mathbb{R} a inequação
\left(x^{2}-x\right)\cdot\left(x^{2}-x-6\right)>0.
Informações dadas e o que se busca:
  • A expressão dada é um produto de dois polinômios quadráticos em x.
  • Quer-se o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que tornam esse produto estritamente positivo.
  • Não há restrições adicionais (domínio é todo \mathbb{R}).

Passo 2

Primeiro passo útil: fatorar cada polinômio para tornar a análise de sinal mais simples.
Fatorizando \,x^{2}-x:
x^{2}-x = x(x-1).
Aqui usou-se fator comum x.
Fatorizando \,x^{2}-x-6: procurar dois números que multiplicam -6 e somam -1. Esses números são -3 e 2. Logo
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Portanto a inequação fica
x(x-1)(x-3)(x+2)>0.

Passo 3

Conceito importante (rapidinho e direto): um polinômio é contínuo, logo seu sinal só pode mudar em pontos onde ele é zero. As raízes (zeros) do produto são os pontos onde cada fator se anula. Vamos achar essas raízes:
  • De x vem x=0.
  • De x-1 vem x=1.
  • De x-3 vem x=3.
  • De x+2 vem x=-2.
Organizando em ordem crescente: -2<0<1<3. Entre essas raízes o sinal do produto é constante. Como todos os fatores são lineares (cada raiz tem multiplicidade 1), o sinal do produto muda ao atravessar cada raiz.

Passo 4

Agora fazemos um quadro de sinais por intervalos, escolhendo um ponto de teste em cada intervalo e determinando o sinal de cada fator.
Intervalos a testar: (-\infty,-2),\;(-2,0),\;(0,1),\;(1,3),\;(3,\infty).
  1. Intervalo (-\infty,-2). Teste com x=-3.
  • x(-3)<0 (negativo),
  • x-1=-4<0 (negativo),
  • x-3=-6<0 (negativo),
  • x+2=-1<0 (negativo).
    Quatro fatores negativos: produto de quatro sinais negativos é positivo (par de negativos -> positivo). Logo produto >0 neste intervalo.
  1. Intervalo (-2,0). Teste com x=-1.
  • x(-1)<0,
  • x-1=-2<0,
  • x-3=-4<0,
  • x+2=1>0.
    Três negativos e um positivo → produto negativo. Logo produto <0 neste intervalo.
  1. Intervalo (0,1). Teste com x=\tfrac{1}{2}.
  • x>0,
  • x-1<0,
  • x-3<0,
  • x+2>0.
    Dois fatores negativos, dois positivos → produto positivo. Logo produto >0 neste intervalo.
  1. Intervalo (1,3). Teste com x=2.
  • x>0,
  • x-1>0,
  • x-3<0,
  • x+2>0.
    Um fator negativo → produto negativo. Logo produto <0 neste intervalo.
  1. Intervalo (3,\infty). Teste com x=4.
  • Todos os fatores são positivos → produto positivo. Logo produto >0 neste intervalo.

Passo 5

Como a inequação é estrita ( >0), não incluímos as raízes onde o produto é zero ( x=-2,0,1,3). Juntando os intervalos onde o produto é positivo, obtemos o conjunto solução:
(-\infty,-2)\;\cup\;(0,1)\;\cup\;(3,\infty).
Observação didática curta: uma alternativa é contar paridade de fatores negativos em cada intervalo (se o número de fatores negativos for par, produto positivo; se for ímpar, produto negativo). Isso é equivalente ao que fizemos com os testes.

Resposta

(-\infty,-2)\cup(0,1)\cup(3,\infty)

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