Exercício 0.1 (Inequações). Resolva, em
, as inequações:
Passo 1
O enunciado pede: resolver em
a inequação
Informações dadas e o que se busca:
- A expressão dada é um produto de dois polinômios quadráticos em
. - Quer-se o conjunto de todos os
que tornam esse produto estritamente positivo. - Não há restrições adicionais (domínio é todo
).
Passo 2
Primeiro passo útil: fatorar cada polinômio para tornar a análise de sinal mais simples.
Fatorizando
:
Aqui usou-se fator comum
.
Fatorizando
: procurar dois números que multiplicam
e somam
. Esses números são
e
. Logo
Portanto a inequação fica
Passo 3
Conceito importante (rapidinho e direto): um polinômio é contínuo, logo seu sinal só pode mudar em pontos onde ele é zero. As raízes (zeros) do produto são os pontos onde cada fator se anula. Vamos achar essas raízes:
- De
vem . - De
vem . - De
vem . - De
vem .
Organizando em ordem crescente:
. Entre essas raízes o sinal do produto é constante. Como todos os fatores são lineares (cada raiz tem multiplicidade
), o sinal do produto muda ao atravessar cada raiz.
Passo 4
Agora fazemos um quadro de sinais por intervalos, escolhendo um ponto de teste em cada intervalo e determinando o sinal de cada fator.
Intervalos a testar:
.
- Intervalo
. Teste com .
-
(negativo), -
(negativo), -
(negativo), -
(negativo).
Quatro fatores negativos: produto de quatro sinais negativos é positivo (par de negativos -> positivo). Logo produtoneste intervalo.
- Intervalo
. Teste com .
-
, -
, -
, -
.
Três negativos e um positivo → produto negativo. Logo produtoneste intervalo.
- Intervalo
. Teste com .
-
, -
, -
, -
.
Dois fatores negativos, dois positivos → produto positivo. Logo produtoneste intervalo.
- Intervalo
. Teste com .
-
, -
, -
, -
.
Um fator negativo → produto negativo. Logo produtoneste intervalo.
- Intervalo
. Teste com .
- Todos os fatores são positivos → produto positivo. Logo produto
neste intervalo.
Passo 5
Como a inequação é estrita (
), não incluímos as raízes onde o produto é zero (
). Juntando os intervalos onde o produto é positivo, obtemos o conjunto solução:
Observação didática curta: uma alternativa é contar paridade de fatores negativos em cada intervalo (se o número de fatores negativos for par, produto positivo; se for ímpar, produto negativo). Isso é equivalente ao que fizemos com os testes.