Exercício 9. (Inspirado no livro do Folland: Fourier Analysis and Applications, capítulo 7) Podemos usar a transformada parcial de Fourier para resolver as equações de Poisson, Onda e Calor no semiplano. O objetivo a seguir é fazer as contas formalmente, ou seja, não justificaremos quais espaços de funções e distribuições estamos trabalhando (embora isto seja possível)
Seja u: R times] 0, infty[ C uma solução de
partial^2 upartial x^2(x, y)+partial^2 upartial y^2(x, y)=0,(x, y) in R times] 0, infty[ u(x, 0)=f(x), x in R
Aplicando a transformada de Fourier em x (e denotando-a por u e f ), obtenha
partial^2 upartial y^2(xi, y)-|xi|^2 u(xi, y)=0, (x, y) in R times] 0, infty[ u(xi, 0)=f(xi), xi in R
Resolvendo a equação em y, conclua que
u(xi, y)=A(xi) e^-y|xi|+B(xi) e^y|xi|
Como e^x|xi| cresce muito rapidamente, esta função não define uma distribuição temperada. Logo, eliminamos este termos e obtemos
u(xi, y)=f(xi) e^-y|xi|
Calculando a transformada de Fourier inversa em xi (e usando que F^-1 leva produto em convolução), conclua que
u(x, y)=integral y f(x-t)pi(t^2+y^2) d t

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no semiplano
partial^2 upartial x^2(x,y) + partial^2 upartial y^2(x,y) = 0, & y>0, u(x,0)=f(x), & xinR
O conteúdo principal é usar a transformada de Fourier parcial em x para passar de uma PDE em (x,y) a uma ODE em y. Precisamos das propriedades
F(partialx^2 u) = -xi^2,hat u(xi,y) e da regra que a transformada inversa converte produto em convolução.

Passo 2

Aplicamos F em x à equação de Laplace. Como
Fl(uxx(x,y)r)(xi,y) = -xi^2,hat u(xi,y),
mantendo y como parâmetro, obtemos a ODE
partial^2 hat upartial y^2(xi,y) - xi^2,hat u(xi,y) = 0,
com condição de contorno
hat u(xi,0) = hat f(xi)

Passo 3

A ODE é linear de segunda ordem com solução geral
hat u(xi,y) = A(xi),e^y|xi| + B(xi),e^-y|xi|
Para que hat u(xi,y) seja temperada em xi (e defina distribuição temperada), eliminamos o termo e^y|xi|, muito crescente em |xi|. Usando hat u(xi,0)=hat f(xi), concluímos
hat u(xi,y)=hat f(xi),e^-y|xi|

Passo 4

Agora invertemos a transformada em xi. Como inversão leva produto em convolução, escrevemos
u(x,y) = F^-1l(hat f(xi),e^-y|xi|r)(x) = (f * Ky)(x),
onde
Ky(x) = F^-1l(e^-y|xi|r)(x)
É conhecido que
Ky(x)=ypil(x^2+y^2r)
Logo
u(x,y) =integral-infty^infty f(x-t),ypil(t^2+y^2r),dt

Resposta

u(x,y) =integral-infty^inftyy,f(x-t)pil(t^2+y^2r),dt

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