Exercício 9. (Inspirado no livro do Folland: Fourier Analysis and Applications, capítulo 7) Podemos usar a transformada parcial de Fourier para resolver as equações de Poisson, Onda e Calor no semiplano. O objetivo a seguir é fazer as contas formalmente, ou seja, não justificaremos quais espaços de funções e distribuições estamos trabalhando (embora isto seja possível)
Seja
uma solução de
Aplicando a transformada de Fourier em
(e denotando-a por
e
), obtenha
Resolvendo a equação em
, conclua que
Como
cresce muito rapidamente, esta função não define uma distribuição temperada. Logo, eliminamos este termos e obtemos
Calculando a transformada de Fourier inversa em
(e usando que
leva produto em convolução), conclua que
Seja
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no semiplano
O conteúdo principal é usar a transformada de Fourier parcial em
para passar de uma PDE em
a uma ODE em
. Precisamos das propriedades
e da regra que a transformada inversa converte produto em convolução.
Passo 2
Aplicamos
em
à equação de Laplace. Como
mantendo
como parâmetro, obtemos a ODE
com condição de contorno
Passo 3
A ODE é linear de segunda ordem com solução geral
Para que
seja temperada em
(e defina distribuição temperada), eliminamos o termo
, muito crescente em
. Usando
, concluímos
Passo 4
Agora invertemos a transformada em
. Como inversão leva produto em convolução, escrevemos
onde
É conhecido que
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