Exercício 6.

integralgamma|e^i z| d z,
onde gamma:[pi2, 3 pi2] C é dado por gamma(t)=e^i t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgammal|e^i zr|,dz
onde gamma é o arco de círculo unitário parametrizado por
gamma(t)=e^i t, tinl[tfracpi2,tfrac3pi2r]
O que precisamos é: 1) reescrever l|e^i zr| em termos de t, 2) obter dz em função de dt e 3) montar a integral em t.

Passo 2

Em primeiro lugar, para z=gamma(t)=e^i t temos
Im z=Iml(e^i tr)=sin t,
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l|e^i zr| = l|e^,i(Re z+i,Im z)r| = l|e^,iRe z - Im zr| = e^-Im z = e^-sin t

Passo 3

Agora derivamos gamma(t) para encontrar dz:
dz = gamma'(t),dt = ddte^i t,dt = i,e^i t,dt

Passo 4

Substituindo na integral de linha, obtemos
integralgammal|e^i zr|,dz = integralt=pi/2^3pi/2 e^-sin t,l(i,e^i tr),dt = iintegralpi/2^3pi/2 e^-sin t + i t,dt

Resposta

boxed integralgammal|e^i zr|,dz = iintegralpi2^3pi2 e^-sin t + i t,dt

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