Questão 4. Calcule a área compreendida pela rosácea de três pétalas
r=sen(3 theta)
(A) pi
(B) 3 pi / 4
(C) pi / 4
(D) pi / 8
(E) pi / 12

Passo 1

O enunciado pede a área da rosácea de três pétalas dada em coordenadas polares por
r = sin(3theta)
O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, cuja fórmula é
A = 12integral r^2,dtheta

Passo 2

Para identificar o intervalo de uma pétala, notamos que r>=0 quando
sin(3theta)>=0Longrightarrow3thetain[0,pi]Longrightarrowthetainl[0,tfracpi3r]

Passo 3

A área de uma pétala é
A1 = 12integral0^pi/3sin^2l(3thetar),dtheta
Usamos a identidade
sin^2x = 1-cos(2x)2,
com x=3theta.

Passo 4

Substituindo e integrando:
A1 = 12integral0^pi/31-cos(6theta)2,dtheta = 14l[theta - sin(6theta)6r]0^pi/3 = 14cdotpi3 = pi12

Passo 5

Como são três pétalas iguais, a área total é
A = 3A1 = 3cdotpi12 = pi4

Resposta

(C) pi/4

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