Questão 3. Calcule a área da regiāo compreendida entre a a parábola y= x^2 / 2 e a reta y=2 x.
(A) 16 / 3
(B) 8 / 3
(C) 2 / 3
(D) 4
(E) 8

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a área da região compreendida entre a parábola y=x^22 e a reta y=2x.
O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas usando integrais definidas.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
x^22=2x
Multiplicando por 2:
x^2=4x
x(x-4)=0
Logo, as abscissas de interseção são x=0 e x=4. Os correspondentes valores de y são 0 e 8, mas só precisamos dos limites em x.

Passo 3

Para saber qual curva está acima no intervalo [0,4], avaliamos em, por exemplo, x=2:
yreta=2cdot2=4 e yparábola=tfrac2^22=2á.
Como 4>2, a reta fica acima da parábola nesse intervalo.

Passo 4

A área pedida é dada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior de x=0 até x=4:
A=integral0^4gl(2x-x^22gr),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integrall(2x-tfracx^22r),dx =integral2x,dx-integraltfracx^22,dx =x^2-x^36
Avaliando de 0 a 4:
A=l[x^2-x^36r]0^4 =16-646 =16-323 =48-323 =163

Resposta

(A) 163

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