Exercício 5. Calcule
integralgamma|z|^2 d z, onde, gamma(t)=(t, t^2)
onde gamma:[0,1] C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha
integralgamma |z|^2,dz
onde a curva é dada por gamma(t)=(t,t^2) em [0,1]. O conteúdo aqui é integração de funções complexas por parametrização: vamos parametrizar z, achar dz e integrar em t.

Passo 2

Parametrização: para tin[0,1] temos
z(t)=t+i,t^2
Dessa forma
dz = z'(t),dt = l(1 + i,2tr),dt

Passo 3

O módulo ao quadrado de z é
|z|^2 = x^2 + y^2 = t^2 + t^4
Então o integrando fica
|z(t)|^2,dz = l(t^2 + t^4r)l(1 + i,2tr),dt

Passo 4

Multiplicando e separando parte real e imaginária:
l(t^2 + t^4r)l(1 + i,2tr) = t^2 + t^4 + i,2t^3 + i,2t^5
Logo
integral0^1l(t^2 + t^4r)(1 + i,2t),dt = integral0^1(t^2 + t^4),dt + i,2integral0^1(t^3 + t^5),dt

Passo 5

Calculando cada integral:
integral0^1t^2,dt = tfrac13, integral0^1t^4,dt = tfrac15,
integral0^1t^3,dt = tfrac14, integral0^1t^5,dt = tfrac16
Portanto
integralgamma|z|^2,dz = l(tfrac13+tfrac15r) + i,2l(tfrac14+tfrac16r) = tfrac815 + i,tfrac56

Resposta

boxed815 + i,56

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