Exercício 6. Seja D o domínio limitado pelas linhas retas x-y=0, x-y= \pi, x+2 y=0, e x+2 y=\frac{\pi}{2}. Avaliar as seguintes integrais: \iint_{D} \sin (3 x) d A.
Passo 1
O enunciado pede a avaliação da integral dupla
\iint_{D} \sin(3x)\,dA,
onde D é o domínio limitado pelas quatro retas:
x-y=0,
x-y=\pi,
x+2y=0,
x+2y=\dfrac{\pi}{2}.
As perguntas explícitas são:
Calcular o valor de \displaystyle \iint_{D} \sin(3x)\,dA.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (já escritas em forma de igualdades):
As duas retas paralelas x-y=0 e x-y=\pi determinam que x-y varia entre 0 e \pi.
As duas retas paralelas x+2y=0 e x+2y=\dfrac{\pi}{2} determinam que x+2y varia entre 0 e \dfrac{\pi}{2}.
Passo 2
Escolha do método: mudança de variáveis linear para simplificar a região.
Explicação didática do raciocínio: quando o domínio é limitado por retas do tipo a x + b y = constantes é muito conveniente escolher novas variáveis que sejam exatamente essas combinações lineares, porque a região em (u,v) vira um retângulo e a integral costuma simplificar. Aqui as combinações naturais são
u = x - y,\qquad v = x + 2y.
Vou usar essa mudança de variáveis e calcular o jacobiano. (Isso é um procedimento padrão: trocar (x,y) por (u,v), reescrever x em função de u,v, calcular \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} e transformar a integral.)
Passo 3
Resolver o sistema para obter x e y em função de u e v.
Portanto o fator absoluto do jacobiano é \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{3}.
Comentário didático rápido sobre o jacobiano: ele transforma a área elementar dA=dx\,dy na nova variável em dA= \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv. É a escala local de área que a transformação linear produz.]
Passo 4
Determinar os limites em (u,v). Como escolhemos u=x-y e v=x+2y e as retas limites são exatamente as mencionadas, a região D em coordenadas (u,v) é o retângulo
0 \le u \le \pi,\qquad 0 \le v \le \frac{\pi}{2}.
Aqui usei explicitamente que peguei os valores das retas do enunciado: x-y=0 e x-y=\pi (dão u entre 0 e \pi); x+2y=0 e x+2y=\dfrac{\pi}{2} (dão v entre 0 e \dfrac{\pi}{2}).
Passo 5
Reescrever a integranda em termos de u,v. Lembrando que
Portanto a integral interna em u é zero para todo v. Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} e integrando em v não muda o resultado: a integral total é zero.
Passo 7
Interpretação rápida para fixar: a função \sin(3x) ao integrar ao longo da direção u (que, pela transformação, corresponde a variações que mudam x por um múltiplo de \tfrac{1}{3} de maneira que 3x varia por 2u) completa exatamente períodos inteiros quando u vai de 0 a \pi; isso provoca cancelamento perfeito e faz o valor da integral ser zero.