Exercício 6. Seja D o domínio limitado pelas linhas retas x-y=0, x-y= \pi, x+2 y=0, e x+2 y=\frac{\pi}{2}. Avaliar as seguintes integrais:
\iint_{D} \sin (3 x) d A.

Passo 1

O enunciado pede a avaliação da integral dupla
\iint_{D} \sin(3x)\,dA,
onde D é o domínio limitado pelas quatro retas:
  • x-y=0,
  • x-y=\pi,
  • x+2y=0,
  • x+2y=\dfrac{\pi}{2}.
As perguntas explícitas são:
  • Calcular o valor de \displaystyle \iint_{D} \sin(3x)\,dA.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (já escritas em forma de igualdades):
  • As duas retas paralelas x-y=0 e x-y=\pi determinam que x-y varia entre 0 e \pi.
  • As duas retas paralelas x+2y=0 e x+2y=\dfrac{\pi}{2} determinam que x+2y varia entre 0 e \dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Escolha do método: mudança de variáveis linear para simplificar a região.
Explicação didática do raciocínio: quando o domínio é limitado por retas do tipo a x + b y = constantes é muito conveniente escolher novas variáveis que sejam exatamente essas combinações lineares, porque a região em ( u,v) vira um retângulo e a integral costuma simplificar. Aqui as combinações naturais são
u = x - y,\qquad v = x + 2y.
Vou usar essa mudança de variáveis e calcular o jacobiano. (Isso é um procedimento padrão: trocar (x,y) por (u,v), reescrever x em função de u,v, calcular \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} e transformar a integral.)

Passo 3

Resolver o sistema para obter x e y em função de u e v.
As equações são
u = x - y, \qquad v = x + 2y.
Subtraindo a primeira da segunda:
v-u = (x+2y)-(x-y)=3y \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{v-u}{3}.
Então
x = u + y = u + \dfrac{v-u}{3} = \dfrac{2u+v}{3}.
Agora o jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{2}{3},\quad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{3}, \qquad \frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{1}{3},\quad \frac{\partial y}{\partial v}=\frac{1}{3}.
O determinante é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\[4pt] -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{vmatrix} = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.
Portanto o fator absoluto do jacobiano é \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\dfrac{1}{3}.
Comentário didático rápido sobre o jacobiano: ele transforma a área elementar dA=dx\,dy na nova variável em dA= \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| du\,dv. É a escala local de área que a transformação linear produz.]

Passo 4

Determinar os limites em (u,v). Como escolhemos u=x-y e v=x+2y e as retas limites são exatamente as mencionadas, a região D em coordenadas (u,v) é o retângulo
0 \le u \le \pi,\qquad 0 \le v \le \frac{\pi}{2}.
Aqui usei explicitamente que peguei os valores das retas do enunciado: x-y=0 e x-y=\pi (dão u entre 0 e \pi); x+2y=0 e x+2y=\dfrac{\pi}{2} (dão v entre 0 e \dfrac{\pi}{2}).

Passo 5

Reescrever a integranda em termos de u,v. Lembrando que
x=\frac{2u+v}{3},
temos
3x = 2u+v, \qquad \sin(3x)=\sin(2u+v).
Então a integral transforma-se em
\iint_{D} \sin(3x)\,dA = \int_{v=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{u=0}^{\pi} \sin(2u+v)\cdot \frac{1}{3}\,du\,dv.
Coloquei o jacobiano \dfrac{1}{3} multiplicando a integranda.

Passo 6

Calcular a integral iterada. Primeiro integrar em u:
\int_{u=0}^{\pi} \sin(2u+v)\,du.
Fazer substituição: seja t=2u+v. Então dt=2\,du e du=\dfrac{dt}{2}. Quando u=0 tem t=v. Quando u=\pi tem t=2\pi+v. Logo
\int_{u=0}^{\pi} \sin(2u+v)\,du = \frac{1}{2}\int_{t=v}^{2\pi+v} \sin t\,dt = \frac{1}{2}\Big[-\cos t\Big]_{t=v}^{t=2\pi+v}.
Como \cos(2\pi+v)=\cos v, isso dá
\frac{1}{2}\big(-\cos(2\pi+v)+\cos v\big)=\frac{1}{2}(-\cos v+\cos v)=0.
Portanto a integral interna em u é zero para todo v. Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} e integrando em v não muda o resultado: a integral total é zero.

Passo 7

Interpretação rápida para fixar: a função \sin(3x) ao integrar ao longo da direção u (que, pela transformação, corresponde a variações que mudam x por um múltiplo de \tfrac{1}{3} de maneira que 3x varia por 2u) completa exatamente períodos inteiros quando u vai de 0 a \pi; isso provoca cancelamento perfeito e faz o valor da integral ser zero.

Resposta

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