Exercício 2. Em quais intervalos a função f(x)=x^2-x+1 é crescente, e em quais é decrescente?

Passo 1

O enunciado pede em quais intervalos a função
f(x)=x^2-x+1
é crescente ou decrescente. O conteúdo aqui é estudo de monotonicidade de funções usando o critério da derivada: uma função diferenciável é crescente onde sua derivada é positiva e decrescente onde sua derivada é negativa.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Usando a regra da potência e a linearidade, temos
f'(x)=ddxl(x^2r)-ddxl(xr)+ddx(1) =2x-1+0
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f'(x)=2x-1

Passo 3

Encontramos o ponto onde a derivada zera, pois aí pode ocorrer troca de monotonicidade. Resolva
2x-1=0 Longrightarrow x=tfrac12

Passo 4

Analisando o sinal de f'(x) em cada lado de x=tfrac12:
Para x<tfrac12 temos f'(x)=2x-1<0, então f é decrescente em (-infty,tfrac12).
Para x>tfrac12 temos f'(x)=2x-1>0, então f é crescente em (tfrac12,infty).

Resposta

A função é decrescente em (-infty,tfrac12) e crescente em (tfrac12,infty).

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