Resolva as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial parcial
Este é um PDE de primeira ordem e homogêneo. Vamos usar o método das características, no qual buscamos curvas
ao longo das quais
é constante ou satisfaz uma ODE simples.
Passo 2
Escrevemos o sistema de características:
pois a equação
implica
, de onde vêm essas equações.
Passo 3
Integramos as duas primeiras ODEs para achar a invariante:
- De segue
.
- De segue
, isto é,
.
Eliminando , como
, obtemos
- De
- De
Eliminando
Chamando
, a constante ao longo da característica é
Como
, concluímos que
é função apenas desta combinação invariante.
Passo 4
Logo, a solução geral da PDE é
onde
é uma função arbitrária de uma variável, determinada pelas condições de contorno ou iniciais, se fornecidas.
Resposta
com
função arbitrária.