Resolva as equações diferenciais
ux=y uy

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial parcial
ux = y,uy
Este é um PDE de primeira ordem e homogêneo. Vamos usar o método das características, no qual buscamos curvas (x(s),y(s)) ao longo das quais u é constante ou satisfaz uma ODE simples.

Passo 2

Escrevemos o sistema de características:
dxds = 1, dyds = -,y, duds = 0,
pois a equação ux - y,uy=0 implica nabla ucdot (1,-y)=0, de onde vêm essas equações.

Passo 3

Integramos as duas primeiras ODEs para achar a invariante:
- De dfracdxds=1 segue x = s + C1.
- De dfracdyds=-y segue ln|y| = -s + C2, isto é, y = C3 e^-s.
Eliminando s, como s = x - C1, obtemos
y = C3 e^-(x-C1) = (C3e^C1),e^-x
Chamando k = C3e^C1, a constante ao longo da característica é
k = y,e^x
Como dfracduds=0, concluímos que u é função apenas desta combinação invariante.

Passo 4

Logo, a solução geral da PDE é
u(x,y) = Fl(y,e^xr),
onde F é uma função arbitrária de uma variável, determinada pelas condições de contorno ou iniciais, se fornecidas.

Resposta

u(x,y) = Fl(y,e^xr),
com F função arbitrária.

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