No interior de um condutor cilíndrico, de raio “a”, a densidade de corrente diminui exponencialmente com o raio, da seguinte forma: J=A e^-k r az, onde A e k são constantes. Determine a intensidade de campo magnético em todo o espaço.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico infinito de raio a com densidade de corrente
vec J = A e^-k r,hat az.
Queremos achar a intensidade de campo magnético vec H(r) em todo o espaço, usando simetria cilíndrica e a Lei de Ampère.

Passo 2

Pela Lei de Ampère, num caminho circular de raio r coaxial ao condutor, temos
oint vec Hcdot dvecell = Irm enc(r),
onde vec H só tem componente azimutal hat aphi e dvecell = r,dphi,hat aphi. Logo
Hphi(r),(2pi r)=Irm enc(r)

Passo 3

O termo Irm enc(r) é a corrente total atravessando o disco de raio r. Como vec J aponta em hat az,
Irm enc(r) =integral0^r!integral0^2piJ(r'),r',dphi,dr' =2pi Aintegral0^rr'e^-k r',dr'
Para avaliar
integral0^rr'e^-k r',dr'
use integração por partes ou tabelas, obtendo
integral0^rr'e^-k r',dr' =1k^2l[1-e^-kr(1+kr)r]
Assim
Irm enc(r) =2pi Ak^2l[1-e^-kr(1+kr)r]

Passo 4

Para r<= a, toda a corrente até r está dentro do condutor. Substituindo em
;Hphi(r)=Irm enc(r)/(2pi r), vem
Hphi(r) =12pi r,2pi Ak^2l[1-e^-kr(1+kr)r] =Ak^2,rl[1-e^-kr(1+kr)r]
Portanto, para r<= a,
vec H(r) =Ak^2,rl[1-e^-kr(1+kr)r]hat aphi

Passo 5

Para r>a, toda a corrente do condutor (até r=a) está encerrada. Então usamos
Irm enc(a)=2pi Ak^2l[1-e^-ka(1+ka)r]
e
Hphi(r)=Irm enc(a)2pi r =Ak^2,rl[1-e^-ka(1+ka)r]
Logo, para r>a,
vec H(r) =Ak^2,rl[1-e^-ka(1+ka)r]hat aphi

Resposta

Para todo o espaço temos
H(r)= dfracAk^2 rl[1 - e^-kr(1 + kr)r] , aphi, &0 <= r <= a,[1em] dfracAk^2 rl[1 - e^-ka(1 + ka)r] , aphi, &r >= a ]

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