Questão 4. Determine uma a solução geral da seguinte Equação de Euler
x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
x^{2}y''-2y=0.
Informações dadas:
x^{2}y''-2y=0
onde y=y(x) é a função incógnita e as derivadas são em relação a x. Não foram dadas condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com constantes arbitrárias). Observação: como aparece x^{2} multiplicando y'', a equação é válida para x\neq0 — a solução será apresentada para x\neq0.

Passo 2

Ideia de solução (por que testar y=x^{m}): para equações do tipo em que os coeficientes são potências de x (como x^{2} aqui), uma técnica padrão é tentar uma solução do tipo
y=x^{m},
com m constante. Vou explicar como derivar e por que funciona: se y=x^{m}, então a primeira e a segunda derivadas são obtidas usando a regra da potência. Calculando passo a passo:
y=x^{m},
y' = m x^{m-1},
y'' = m(m-1) x^{m-2}.
Essas fórmulas vêm da regra: \dfrac{d}{dx}x^{m}=m x^{m-1} e aplicando-a novamente para obter y''.

Passo 3

Substituímos y'' (obtido no passo anterior) na equação original. Primeiro calcule x^{2}y'':
x^{2}y'' = x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2} = m(m-1)x^{m}.
Agora substituímos na equação x^{2}y''-2y=0:
m(m-1)x^{m} - 2x^{m} = 0.
Fatorando x^{m} (que para x\neq0 é diferente de zero), obtemos a condição sobre m:
\bigl(m(m-1)-2\bigr)x^{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad m(m-1)-2=0.

Passo 4

Resolvemos a equação algébrica (chamada equação característica):
m(m-1)-2=0.
Expandindo,
m^{2}-m-2=0.
Essa é uma quadrática que fatoramos:
m^{2}-m-2=(m-2)(m+1)=0.
Logo as raízes são
m_{1}=2,\qquad m_{2}=-1.

Passo 5

Forma geral da solução: quando a tentativa y=x^{m} dá duas raízes reais e distintas m_{1} e m_{2}, a solução geral da equação de Euler é a combinação linear
y=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. No nosso caso, com m_{1}=2 e m_{2}=-1, obtemos
y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1}.
Comentário sobre domínio: como os expoentes são inteiros ( 2 e -1), essa fórmula é válida para todo x\neq0. As constantes C_{1},C_{2} ficam livres porque não temos condições iniciais.

Resposta

y=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-1}

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