Questão 4. Determine uma a solução geral da seguinte Equação de Euler
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
onde
é a função incógnita e as derivadas são em relação a
. Não foram dadas condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com constantes arbitrárias). Observação: como aparece
multiplicando
, a equação é válida para
— a solução será apresentada para
.
Passo 2
Ideia de solução (por que testar
): para equações do tipo em que os coeficientes são potências de
(como
aqui), uma técnica padrão é tentar uma solução do tipo
com
constante. Vou explicar como derivar e por que funciona: se
, então a primeira e a segunda derivadas são obtidas usando a regra da potência. Calculando passo a passo:
Essas fórmulas vêm da regra:
e aplicando-a novamente para obter
.
Passo 3
Substituímos
(obtido no passo anterior) na equação original. Primeiro calcule
:
Agora substituímos na equação
:
Fatorando
(que para
é diferente de zero), obtemos a condição sobre
:
Passo 4
Resolvemos a equação algébrica (chamada equação característica):
Expandindo,
Essa é uma quadrática que fatoramos:
Logo as raízes são
Passo 5
Forma geral da solução: quando a tentativa
dá duas raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação de Euler é a combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias. No nosso caso, com
e
, obtemos
Comentário sobre domínio: como os expoentes são inteiros (
e
), essa fórmula é válida para todo
. As constantes
ficam livres porque não temos condições iniciais.