Questão 3. Encontre uma solução geral para a equação diferencial
y^{\prime \prime}+y=\cos x
usando o Wrosnkiano.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y^{\prime\prime} + y = \cos x
e pede: encontrar a solução geral y(x).\n
Informações relevantes fornecidas:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea.
O termo não homogêneo (forçante) é \cos x.
Não há condições iniciais; queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+y=0.
Para resolver, usamos a equação característica. Supomos uma solução do tipo y=e^{\lambda x}. Substituindo obtemos
\lambda^2 + 1 = 0.
As raízes são \lambda = \pm i. Para raízes puramente imaginárias \pm i, a solução geral da homogênea é uma combinação linear de cosseno e seno:
y_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora usamos o método de variação de parâmetros (que usa o Wronskiano) para achar uma solução particular y_p da equação completa. Primeiro escolhemos duas soluções fundamentais da homogênea:
Calculamos as derivadas: y_1'=-\sin x e y_2'=\cos x. Portanto
W(x)=\cos x\cdot\cos x - (-\sin x)\cdot\sin x=\cos^2 x + \sin^2 x = 1.
Observação: é ótimo quando o Wronskiano é uma constante simples — aqui W\equiv 1 facilita bastante.
Passo 4
Explicando a ideia da variação de parâmetros (passo didático curto): queremos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2\) são funções a determinar. Para simplificar o sistema para \(u_1,u_2\), impomos a condição auxiliar
\[u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
Com essa condição, ao substituir y_p na equação, obtemos o sistema simples (quando a equação está na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) e aqui p(x)=0):
novamente sem constante de integração (pode ser absorvida em C_1,C_2).
Passo 7
Construímos y_p:
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x) =\frac{1}{4}\cos(2x)\cos x + \Big(\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)\Big)\sin x.
Agora simplificamos usando identidades trigonométricas. Note que \cos(2x)\cos x + \sin(2x)\sin x = \cos x vezes (\cos^2 x + \sin^2 x)=\cos x quando combinadas com os coeficientes apropriados. Fazer a álgebra completa:
\frac{1}{4}\cos(2x)\cos x + \frac{1}{4}\sin(2x)\sin x =\frac{1}{4}\big(\cos(2x)\cos x + \sin(2x)\sin x\big)=\frac{1}{4}\cos x.
O termo com x fica
\Big(\frac{1}{2}x\Big)\sin x=\frac{1}{2}x\sin x.
Assim
y_p(x)=\frac{1}{4}\cos x + \frac{1}{2}x\sin x.
Passo 8
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{4}\cos x + \frac{1}{2}x\sin x.
Agrupando os termos em \cos x, podemos absorver \tfrac{1}{4}\cos x em C_1 (já que C_1 é arbitrário). Então uma forma mais enxuta é
y(x)=A\cos x + B\sin x + \frac{1}{2}x\sin x,
onde A,B são constantes arbitrárias (redefinição de C_1,C_2).