Exercício 7 Determine a reta de
que melhor se ajusta so pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a reta de
que melhor se ajusta aos pontos
e
.\n
Informações dadas:
\n
O que precisamos entregar: a equação da reta que melhor aproxima esses pontos no sentido dos mínimos quadrados (ou seja, minimizar a soma dos quadrados dos erros verticais).
Informações dadas:
O que precisamos entregar: a equação da reta que melhor aproxima esses pontos no sentido dos mínimos quadrados (ou seja, minimizar a soma dos quadrados dos erros verticais).
Passo 2
Vamos definir a reta procurada como
onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o coeficiente linear (intercepto).\n
Explicando a ideia dos mínimos quadrados (passo-a-passo): para cada ponto definimos o erro (resíduo) vertical como
. Queremos escolher
e
que minimizem a soma dos quadrados desses resíduos:
Explicando a ideia dos mínimos quadrados (passo-a-passo): para cada ponto
Para minimizar
tomamos as derivadas parciais em relação a
e
e igualamos a zero (condição de ótimo):
Essas igualdades geram o sistema linear (chamado equações normais):
Uma forma mais prática e frequentemente usada é reescrever em termos das médias
e
. Definindo
chega-se (pela manipulação das equações normais) às fórmulas:
Aqui
é a soma dos produtos das diferenças em relação às médias (uma forma discreta de covariância) e
é a soma dos quadrados das diferenças de
(uma forma discreta de variância). Essas fórmulas nos dão
e
diretamente.
Passo 3
Calcular as médias
e
usando os pontos dados (neste passo usei explicitamente os pontos do enunciado):
Passo 4
Calcular
e
ponto a ponto. Vou mostrar cada termo (tomei os dados dos pontos fornecidos):
Para :
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Agora somamos os termos:
Passo 5
Calcular o coeficiente angular
usando a fórmula
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Calcular o intercepto
pela fórmula
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Escrever a equação final da reta que melhor se ajusta (forma exata e decimal). A forma fracionária exata:
A forma decimal equivalente: