Exercício 7 Determine a reta de \mathbb{R}^{2} que melhor se ajusta so pontos (-1,-10),(0,-6),(1,-4) e (2,-2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a reta de \mathbb{R}^2 que melhor se ajusta aos pontos (-1,-10), (0,-6), (1,-4) e (2,-2).\n
Informações dadas:
\; \; (-1,-10),\; (0,-6),\; (1,-4),\; (2,-2).\n
O que precisamos entregar: a equação da reta que melhor aproxima esses pontos no sentido dos mínimos quadrados (ou seja, minimizar a soma dos quadrados dos erros verticais).

Passo 2

Vamos definir a reta procurada como
y = ax + b,
onde \;a é o coeficiente angular (inclinação) e \;b é o coeficiente linear (intercepto).\n
Explicando a ideia dos mínimos quadrados (passo-a-passo): para cada ponto (x_i,y_i) definimos o erro (resíduo) vertical como \;r_i = y_i - (a x_i + b). Queremos escolher a e b que minimizem a soma dos quadrados desses resíduos:
S(a,b)=\sum_{i=1}^{n} r_i^{2}=\sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i-(a x_i+b)\bigr)^{2}.
Para minimizar S(a,b) tomamos as derivadas parciais em relação a a e b e igualamos a zero (condição de ótimo):
\frac{\partial S}{\partial a}=-2\sum_{i=1}^{n} x_i\bigl(y_i-(a x_i+b)\bigr)=0,
\frac{\partial S}{\partial b}=-2\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i-(a x_i+b)\bigr)=0.
Essas igualdades geram o sistema linear (chamado equações normais):
a\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}+b\sum_{i=1}^{n} x_i=\sum_{i=1}^{n} x_i y_i,
a\sum_{i=1}^{n} x_i + n b=\sum_{i=1}^{n} y_i.
Uma forma mais prática e frequentemente usada é reescrever em termos das médias \bar{x} e \bar{y}. Definindo
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i,
chega-se (pela manipulação das equações normais) às fórmulas:
a=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}, \qquad b=\bar{y}-a\bar{x}.
Aqui \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) é a soma dos produtos das diferenças em relação às médias (uma forma discreta de covariância) e \sum (x_i-\bar{x})^{2} é a soma dos quadrados das diferenças de x (uma forma discreta de variância). Essas fórmulas nos dão a e b diretamente.

Passo 3

Calcular as médias \bar{x} e \bar{y} usando os pontos dados (neste passo usei explicitamente os pontos do enunciado):
n=4.
\bar{x}=\frac{-1+0+1+2}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
\bar{y}=\frac{-10-6-4-2}{4}=\frac{-22}{4}=-\frac{11}{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) e \displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2} ponto a ponto. Vou mostrar cada termo (tomei os dados dos pontos fornecidos):
Para (x_1,y_1)=(-1,-10):
x_1-\bar{x}=-1-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{2},\qquad y_1-\bar{y}=-10-(-\tfrac{11}{2})=-10+\tfrac{11}{2}=-\tfrac{9}{2},
(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})=(-\tfrac{3}{2})(-\tfrac{9}{2})=\tfrac{27}{4}=6{,}75,
(x_1-\bar{x})^{2}=\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{9}{4}=2{,}25.
Para (x_2,y_2)=(0,-6):
x_2-\bar{x}=0-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2},\qquad y_2-\bar{y}=-6-(-\tfrac{11}{2})=-6+\tfrac{11}{2}=-\tfrac{1}{2},
(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})=(-\tfrac{1}{2})(-\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{4}=0{,}25,
(x_2-\bar{x})^{2}=\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4}=0{,}25.
Para (x_3,y_3)=(1,-4):
x_3-\bar{x}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},\qquad y_3-\bar{y}=-4-(-\tfrac{11}{2})=-4+\tfrac{11}{2}=\tfrac{3}{2},
(x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})=(\tfrac{1}{2})(\tfrac{3}{2})=\tfrac{3}{4}=0{,}75,
(x_3-\bar{x})^{2}=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{4}=0{,}25.
Para (x_4,y_4)=(2,-2):
x_4-\bar{x}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2},\qquad y_4-\bar{y}=-2-(-\tfrac{11}{2})=-2+\tfrac{11}{2}=\tfrac{7}{2},
(x_4-\bar{x})(y_4-\bar{y})=(\tfrac{3}{2})(\tfrac{7}{2})=\tfrac{21}{4}=5{,}25,
(x_4-\bar{x})^{2}=\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{9}{4}=2{,}25.
Agora somamos os termos:
\sum_{i=1}^{4}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})= \tfrac{27}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}+\tfrac{21}{4}=\tfrac{52}{4}=13.
\sum_{i=1}^{4}(x_i-\bar{x})^{2}= \tfrac{9}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{20}{4}=5.

Passo 5

Calcular o coeficiente angular a usando a fórmula
a=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}.
Substituindo os valores encontrados:
a=\frac{13}{5}=\;2{,}6.

Passo 6

Calcular o intercepto b pela fórmula
b=\bar{y}-a\bar{x}.
Substituindo \bar{y}=-\tfrac{11}{2}, \bar{x}=\tfrac{1}{2} e a=\tfrac{13}{5}:
b=-\tfrac{11}{2}-\tfrac{13}{5}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{11}{2}-\tfrac{13}{10}=-\tfrac{68}{10}=-\tfrac{34}{5}=-6{,}8.

Passo 7

Escrever a equação final da reta que melhor se ajusta (forma exata e decimal). A forma fracionária exata:
y=\frac{13}{5}x-\frac{34}{5}.
A forma decimal equivalente:
y=2{,}6\,x-6{,}8.

Resposta

y=\dfrac{13}{5}x-\dfrac{34}{5}

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