Considere a função vetorial
, e imagine que ela descreve o deslocarnento espacial de uma partícula (medida em metros), com a variável
representando o tempo (medido. em segundos), que começa no ponto
em
. Quanto tempo, em segundos, leva para a partícula se deslocar 10 metros?
10
(12)
10
(12)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a posição de uma partícula no espaço ao longo do tempo, dada por $ r(t) = \left(1, e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right) $, onde $ t $ é o tempo em segundos. O objetivo é descobrir quanto tempo a partícula leva para se deslocar 10 metros. Para resolver isso, vamos precisar calcular a velocidade da partícula e integrar essa velocidade ao longo do tempo para encontrar a distância total percorrida.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando cada componente de $ r(t) $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade, que nos dá a rapidez da partícula:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 4
Para encontrar o tempo necessário para a partícula percorrer 10 metros, vamos integrar a velocidade de 0 até $ T $ e igualar a 10:
Resolvendo a integral:
Então, tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Resposta
O tempo necessário é $ T = \ln\left(\frac{10}{\sqrt{2}} + 1\right) $ segundos.