Considere a função vetorial r(t)=(1, e^t cos t, e^t sen t), t >= 0, e imagine que ela descreve o deslocarnento espacial de uma partícula (medida em metros), com a variável t representando o tempo (medido. em segundos), que começa no ponto (1,1,0) em t=0. Quanto tempo, em segundos, leva para a partícula se deslocar 10 metros?
square ln (10raiz2)
square
10
square
ln (5raiz2+1)
(12) ln (10raiz2+1)
square
ln 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a posição de uma partícula no espaço ao longo do tempo, dada por $ r(t) = \left(1, e^{t} \cos t, e^{t} \sin t\right) $, onde $ t $ é o tempo em segundos. O objetivo é descobrir quanto tempo a partícula leva para se deslocar 10 metros. Para resolver isso, vamos precisar calcular a velocidade da partícula e integrar essa velocidade ao longo do tempo para encontrar a distância total percorrida.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando cada componente de $ r(t) $:
r(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade, que nos dá a rapidez da partícula:
|r'(t)| = raiz0^2 + (e^t (cos t - sin t))^2 + (e^t (sin t + cos t))^2
Simplificando dentro da raiz:
(cos t - sin t)^2 + (sin t + cos t)^2 = 2 (cos^2 t + sin^2 t) = 2
Então:
|r'(t)| = e^t raiz2 = raiz2 , e^t

Passo 4

Para encontrar o tempo necessário para a partícula percorrer 10 metros, vamos integrar a velocidade de 0 até $ T $ e igualar a 10:
T
Resolvendo a integral:
integral0^T raiz2 , e^t , dt = 10
Então, tomando o logaritmo natural dos dois lados:
raiz2 ( e^T - 1 ) = 10 implies e^T - 1 = 10raiz2 implies e^T = 1 + 10raiz2

Resposta

O tempo necessário é $ T = \ln\left(\frac{10}{\sqrt{2}} + 1\right) $ segundos.

Exercícios relacionados