Sendo A=MMC(x^4-1 ; x^2-1 ; x-1) e B=(x^2+1)(x-1), determine o valor da expressão AB x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor da expressão quando , onde:
  • é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos polinômios , e .
  • é igual a .
Então, vamos precisar entender o que é MMC de polinômios e como fatorar esses polinômios para encontrar o MMC e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar cada um dos polinômios que compõem o MMC x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) :
  1. Fatorando x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) :
    x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
    Agora, podemos fatorar ainda mais:
    Então, .
  2. Fatorando :
    Já fizemos isso acima:
  3. Fatorando :
    Esse já está fatorado: .

Passo 3

Agora que temos todos os polinômios fatorados, vamos listar os fatores únicos para encontrar o MMC:
  • De MMC = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) : , ,
  • De : ,
  • De :
O MMC é composto por todos os fatores diferentes, considerando a maior potência de cada um que aparece nas fatorações. Neste caso, temos:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos analisar B = (x^2 + 1)(x - 1) , que já está fatorado:
Perceba que e também estão presentes no MMC . Isso vai ajudar na simplificação da expressão .

Passo 5

Vamos montar a expressão AB = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^2 + 1)(x - 1) substituindo AB = x + 1 e :
Podemos simplificar cancelando os fatores comuns no numerador e denominador:
  • cancela com
  • cancela com
Ficando assim:

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão para x + 1 = 2 + 1 = 3 , basta substituir :

Resposta

O valor da expressão quando é 3.

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