Exercicío 2. Nos itens abaixo, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.
na placa retangular
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Passo 1
O exercício pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos da função f(x,y)=8 x y – 32 x³ – 24 y² no retângulo 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. O conteúdo principal é otimização de funções de duas variáveis: vamos precisar calcular o gradiente, achar pontos críticos no interior e depois verificar as fronteiras.
Passo 2
Para achar pontos críticos no interior, calculamos as derivadas parciais. A derivada em relação a x é ∂f/∂x=8y–96x² e em relação a y é ∂f/∂y=8x–48y. Igualando a zero, temos y=12x² e y=x/6. Igualando 12x²=x/6 dá x(72x–1)=0, logo x=0 ou x=1/72. Para x=1/72, y=1/432. O ponto (0,0) está na fronteira, então o único crítico interior é (1/72,1/432).
Passo 3
Vamos avaliar f no ponto interior. Primeiro:
Passo 4
Calculando cada termo:
Passo 5
Fazendo a soma com denominação comum 23328 obtemos
Passo 6
Agora analisamos cada aresta do retângulo:
Aresta x=0: f(0,y)=–24y² em 0≤y≤1 tem máximo f(0,0)=0 e mínimo f(0,1)=–24.
Aresta y=0: f(x,0)=–32x³ em 0≤x≤1 tem máximo f(0,0)=0 e mínimo f(1,0)=–32.
Aresta x=1: f(1,y)=–24y²+8y–32. Derivada em y dá y=1/6. Avaliando: f(1,1/6)=–94/3≈–31.33, f(1,0)=–32, f(1,1)=–48. Logo máximo nessa aresta é –94/3 e mínimo é –48.
Aresta y=1: f(x,1)=–32x³+8x–24. Derivada em x dá x=1/√12=√3/6. Avaliando: f(√3/6,1)=(8√3)/9–24≈–22.46, f(0,1)=–24, f(1,1)=–48. Assim máximo nessa aresta é (8√3)/9–24 e mínimo é –48.
Aresta x=0: f(0,y)=–24y² em 0≤y≤1 tem máximo f(0,0)=0 e mínimo f(0,1)=–24.
Aresta y=0: f(x,0)=–32x³ em 0≤x≤1 tem máximo f(0,0)=0 e mínimo f(1,0)=–32.
Aresta x=1: f(1,y)=–24y²+8y–32. Derivada em y dá y=1/6. Avaliando: f(1,1/6)=–94/3≈–31.33, f(1,0)=–32, f(1,1)=–48. Logo máximo nessa aresta é –94/3 e mínimo é –48.
Aresta y=1: f(x,1)=–32x³+8x–24. Derivada em x dá x=1/√12=√3/6. Avaliando: f(√3/6,1)=(8√3)/9–24≈–22.46, f(0,1)=–24, f(1,1)=–48. Assim máximo nessa aresta é (8√3)/9–24 e mínimo é –48.
Passo 7
Por fim, comparando todos os valores críticos e de fronteira, o maior valor de f é 1/23328 no ponto (1/72,1/432) e o menor valor é –48 no ponto (1,1).
Resposta
Máximo absoluto: f\bigl(1/72,1/432\bigr)=1/23328. Mínimo absoluto: f(1,1)=–48.