Questão 8. Determinar a expressão da integral que permite calcular o comprimento de arco das seguintes curvas dadas:
y=raizx ; 2 <= x <= 4

Passo 1

O enunciado pede a expressão da integral que calcula o comprimento de arco da curva ;y=raizx no intervalo 2<= x<=4. O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma função y=f(x), usando a fórmula
L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y=raizx. Como raizx=x^1/2, temos
y'=ddxl(x^1/2r)=12,x^-1/2=12raizx
Em seguida, montamos o radicando da fórmula do comprimento:
1+(y')^2=1+14x

Passo 3

Portanto, a integral que fornece o comprimento de arco é
L=integral2^4raiz1+14x;dx

Passo 4

Se quisermos, podemos simplificar o integrando:
raiz1+14x =raiz4x+14x =raiz4x+12raizx
Então outra forma equivalente é
L=integral2^4raiz4x+12raizx;dx

Resposta

L=integral2^4raiz1+14x;dx ou L=integral2^4raiz4x+12raizx;dx

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