Exercício 1. Nos itens abaixo, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, para encontrar uma segunda solução y2(x).
g) 9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0 ; y1=e^2 x / 3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
9y''-12y'+4y=0
e informa uma solução conhecida y1(x)=e^2x/3. O conteúdo é redução de ordem para obter uma segunda solução y2(x) linearmente independente de y1.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão dividindo por 9:
y'' - 43y' + 49y = 0
Aqui P(x)=-tfrac43 e Q(x)=tfrac49. A fórmula de redução de ordem diz que
y2(x)=y1(x)integral e^-integral P(x),dx[y1(x)]^2,dx

Passo 3

Calculamos
integral P(x),dx = integral l(-tfrac43r),dx = -4x3,
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e^-integral P,dx = e^4x/3, [y1(x)]^2 = e^4x/3
Assim o integrando fica
e^4x/3e^4x/3 = 1

Passo 4

Integramos
integral 1,dx = x + C
Desprezando a constante multiplicativa (pois gera combinação com y1), obtemos
y2(x) = y1(x),x = x,e^2x/3

Resposta

A segunda solução é
y2(x)=x,e^2x/3

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