Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem com condição inicial
e, em seguida, determinar o maior intervalo em que a solução está definida. Para resolver, iremos escrever a equação em forma diferencial exata usando fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos a EDO como forma diferencial
Aqui identificamos
Verificamos que
e
, não é exata. Procuramos um fator integrante
que dependa só de
, satisfazendo
Passo 3
Multiplicamos a equação diferencial por
, obtendo
que agora é exata. Logo existe
tal que
Passo 4
Integramos
em relação a
:
Fazendo as integrações por partes e constantes:
Portanto
Para ajustar
obtemos
. Assim
Passo 5
Usando
em
temos em
:
Logo a solução implícita é
Passo 6
Isolando
,
e, como
, tomamos o ramo positivo:
Passo 7
Precisamos do maior intervalo onde o radicando é positivo:
Calcula-se
, que tem um único mínimo em
, e ali
Portanto
para todo
. Assim a solução existe em todo
.