Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
y d yd x-x=2 y^2, y(1)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem com condição inicial
y,dydx-x=2y^2, y(1)=5,
e, em seguida, determinar o maior intervalo em que a solução está definida. Para resolver, iremos escrever a equação em forma diferencial exata usando fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a EDO como forma diferencial
y,dy-(x+2y^2),dx=0
Aqui identificamos
M(x,y)=-(x+2y^2), N(x,y)=y
Verificamos que partial M/partial y=-4y e partial N/partial x=0, não é exata. Procuramos um fator integrante mu(x) que dependa só de x, satisfazendo
partial Mpartial y-partial Npartial xN =-4y-0y=-4 Longrightarrow mu(x)=e^integral -4,dx=e^-4x

Passo 3

Multiplicamos a equação diferencial por mu(x)=e^-4x, obtendo
-(x+2y^2)e^-4x,dx + y,e^-4x,dy=0,
que agora é exata. Logo existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x=-(x+2y^2)e^-4x, partial phipartial y=y,e^-4x

Passo 4

Integramos partial phi/partial x em relação a x:
phi(x,y) =integral! -(x+2y^2)e^-4x,dx =integral!-x e^-4x,dx +integral!-2y^2e^-4x,dx +h(y)
Fazendo as integrações por partes e constantes:
integral -x e^-4x,dx =x e^-4x4+e^-4x16, integral -2y^2 e^-4x,dx =y^2e^-4x2
Portanto
phi(x,y) =x e^-4x4 +e^-4x16 +y^2e^-4x2+h(y)
Para ajustar partial phi/partial y=y,e^-4x obtemos h'(y)=0. Assim
phi(x,y) =e^-4x16l(4x+1+8y^2r)=C

Passo 5

Usando y(1)=5 em
e^-4x(4x+1+8y^2)=K,
temos em x=1,y=5:
e^-4(4cdot1+1+8cdot5^2) =e^-4(4+1+200) =205,e^-4=K
Logo a solução implícita é
e^-4x(4x+1+8y^2)=205,e^-4

Passo 6

Isolando y,
4x+1+8y^2 =205,e^4(x-1),
y^2 =205,e^4(x-1)-4x-18,
e, como y(1)=5>0, tomamos o ramo positivo:
y(x) =raiz205,e^4(x-1)-4x-18

Passo 7

Precisamos do maior intervalo onde o radicando é positivo:
f(x)=205,e^4(x-1)-4x-1
Calcula-se f'(x)=820,e^4(x-1)-4, que tem um único mínimo em
x=1-tfracln2054, e ali
fmin=ln205-4>0
Portanto f(x)>0 para todo xinR. Assim a solução existe em todo R.

Resposta

y(x) =raiz205,e^4(x-1)-4x-18, xin(-infty,infty)

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