Exercício 1. Nos itens abaixo, a função indicada y1(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, para encontrar uma segunda solução y2(x).
6 y^prime prime+y^prime-y=0 ; y1=e^x / 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por redução de ordem, a equação diferencial
6y'' + y' - y = 0
sabendo que uma solução é y1(x)=e^x/3.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
dividindo tudo por 6. Obtém-se
y'' + 16,y' - 16,y = 0,
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p(x)=16, q(x)=-16

Passo 3

Pela redução de ordem, procuramos
y2(x)=y1(x),v(x)
onde
v(x)=integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2;dx
Aqui integral p(x),dx=integral tfrac16,dx=tfracx6.

Passo 4

Calculamos o integrando:
e^-integral p(x),dx=e^-x/6, y1(x)^2=e^2x/3,
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e^-x/6e^2x/3=e^-x/6 - 2x/3=e^-5x/6
Integrando,
integral e^-5x/6,dx =-65,e^-5x/6

Passo 5

Portanto
v(x)=-65,e^-5x/6,
e
y2(x)=y1(x),v(x) =-65,e^x/3,e^-5x/6 =-65,e^-x/2
Desprezando o fator constante -6/5, obtemos a segunda solução independente
y2(x)=e^-x/2

Resposta

y2(x)=e^-x/2

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