Determine o volume dos sólidos S :
S é limitado entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=16 para y>0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que fica entre as esferas
x^2+y^2+z^2=1
e
x^2+y^2+z^2=16
mas apenas na região onde y>0.
O conteúdo principal é calcular um integral triplo em coordenadas esféricas para obter esse volume.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x = rhosinvarphicostheta, y = rhosinvarphisintheta, z = rhocosvarphi,
e o elemento de volume é
dV = rho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta
A condição 1 <= rho <= 4 vem das esferas. A restrição y>0 equivale a sintheta>0, ou seja 0<theta<pi. O ângulo polar varia em 0<=varphi<=pi.

Passo 3

Montamos o integral triplo do volume:
V = integraltheta=0^pi integralvarphi=0^pi integralrho=1^4 rho^2,sinvarphi ,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Calculamos as integrais em separado. Primeiro a parte radial:
integral1^4rho^2,drho = l[tfracrho^33r]1^4 = 4^3-1^33 = 64-13 = 21
Depois a parte em varphi:
integral0^pisinvarphi,dvarphi = 2
E por fim em theta:
integral0^pidtheta = pi
Multiplicando tudo:
V = 21 times 2 times pi = 42pi

Resposta

O volume do sólido S é 42pi.

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