Determine o volume dos sólidos
:
é limitado entre as esferas
e
para
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que fica entre as esferas
e
mas apenas na região onde
.
O conteúdo principal é calcular um integral triplo em coordenadas esféricas para obter esse volume.
O conteúdo principal é calcular um integral triplo em coordenadas esféricas para obter esse volume.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos
e o elemento de volume é
A condição
vem das esferas. A restrição
equivale a
, ou seja
. O ângulo polar varia em
.
Passo 3
Montamos o integral triplo do volume:
Passo 4
Calculamos as integrais em separado. Primeiro a parte radial:
Depois a parte em
:
E por fim em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O volume do sólido
é
.