Escreva z=(-5,13,16) como combinação linear de u=(1,-1,4) e v=(-3,2,6). (Valor: 1,0)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(1,-1,4), \vec v=(-3,2,6) e \vec z=(-5,13,16), e pede para encontrar escalares a e b tais que
a\,\vec u + b\,\vec v = \vec z.
O conteúdo aqui é combinação linear de vetores e resolução de sistema linear.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} a - 3b = -5,\\\\ -\,a + 2b = 13,\\\\ 4a + 6b = 16. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações, da primeira vem
a = -5 + 3b.
Substituindo na segunda:
-(-5+3b) + 2b = 13 \quad\Longrightarrow\quad 5 - 3b + 2b = 13 \quad\Longrightarrow\quad -b = 8 \quad\Longrightarrow\quad b = -8.
Então
a = -5 + 3\cdot(-8) = -5 - 24 = -29.

Passo 4

Verificamos a terceira equação com a=-29 e b=-8:
4(-29) + 6(-8) = -116 - 48 = -164 \neq 16.
Há uma contradição, pois esse valor deveria ser 16.

Passo 5

Como não existe solução que satisfaça as três equações simultaneamente, concluímos que \vec z não pertence ao espaço gerado por \vec u e \vec v.

Resposta

Não é possível escrever \vec z como combinação linear de \vec u e \vec v.

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