Exercício 5 - Iterações manuais
Aplique o Método da Bisseção à função
no intervalo
, com tolerância
.
(a) Execute as iterações em uma tabela com colunas
.
(b) Usando a fórmula teórica
, preveja o número de iterações necessárias e compare com o obtido experimentalmente.
(c) Qual é o erro máximo garantido após 10 iterações?
(a) Execute as iterações em uma tabela com colunas
(b) Usando a fórmula teórica
(c) Qual é o erro máximo garantido após 10 iterações?
Passo 1
O enunciado dá a função
, o intervalo inicial
e a tolerância
. As perguntas são:
- (a) Aplicar o Método da Bisseção até a tolerância e apresentar as iterações numa tabela com colunas
. - (b) Usar a fórmula teórica
para prever o número de iterações e comparar com o obtido experimentalmente. - (c) Calcular o erro máximo garantido após 10 iterações.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
-
e , logo há uma raiz em por mudança de sinal. - Critério de parada adotado: interromper quando o comprimento do intervalo
ficar menor ou igual a . (Irei usar esse critério, que é o mais comum para bisseção.)
Passo 2
Pequena aula sobre o Método da Bisseção (sem pular etapas):
- Ideia: se
é contínua em e , existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração calcula-se o ponto médio
. - Verifica-se o sinal de
: - Se
, a raiz está em e define-se . - Se
, a raiz está em e define-se . - Se
, a raiz foi encontrada exatamente em .
- Se
- O comprimento do intervalo após
bisseções é . - Uma cota simples para o erro absoluto da aproximação por ponto médio
é onde é a raiz exata. Essa desigualdade é a usada para derivar a fórmula teórica dada no enunciado:
Passo 3
Agora aplico o método na prática, iteração a iteração. Vou numerar as iterações com
, onde
e
. Em cada linha explico a escolha do próximo intervalo pelo teste de sinal
.
Tabela com as iterações (valores aproximados com precisão suficiente para a prova; uso vírgula para separador decimal):
Como se lê a tabela (exemplo das primeiras linhas):
- Em
calculamos . Como e têm mesmo sinal, trocamos ou, mais precisamente, como escolhemos o subintervalo com mudança de sinal que é . - Seguindo assim escolhemos em cada iteração o intervalo onde ocorre a mudança de sinal.
Observação sobre o critério de parada: estou usando o critério
. Na tabela vemos que em
ainda temos
, e em
obtemos
. Portanto obtemos o intervalo desejado pela primeira vez em
. A aproximação pela bisseção nesse ponto é
com
.]
Passo 4
Resposta da parte (a) e interpretação:
- A tabela do Passo 3 é a execução pedida.
- Usando o critério
foram necessárias iterações (isto é, a primeira com é ). - A aproximação resultante é
e o intervalo final é .
Dica emocional rápida: ótimo — já se tem a tabela e a aproximação. Keep going; você consegue!
Passo 5
Parte (b): usar a fórmula teórica dada e comparar com o experimental.
- Aplicando a fórmula do enunciado:
com e , temos Tomando o inteiro mínimo que satisfaz essa desigualdade obtemos (ou seja, a fórmula dada prevê iterações). - Comparação com o experimental: na prática (Passo 3) foi necessário
iterações para que . - Explicação da diferença: é uma diferença de índice/definição. A fórmula dada no enunciado está escrita no formato com o
; se em vez disso usássemos diretamente a condição e isolássemos obteríamos que dá e portanto quando arredondado para cima. Em suma: a fórmula do enunciado (com o ) prevê no seu índice, mas o critério prático de comprimento do intervalo exige bisseções para garantir . É uma questão puramente de como se conta (se começa a contar em zero e qual expressão se usa para a cota de erro do ponto médio).
Passo 6
Parte (c): erro máximo garantido após
iterações.
Usando a cota apresentada no Passo 2,
Para
e
obtemos
Portanto o erro máximo garantido após 10 iterações é
.
Resposta
(a) Intervalo final
,
; número de iterações realizadas
.
(b) Previsão pela fórmula dada: ; experimentalmente foram necessárias
iterações (diferença por convenção de índice/critério).
(c) Erro máximo garantido após 10 iterações: .
(b) Previsão pela fórmula dada:
(c) Erro máximo garantido após 10 iterações: